19.3. Понятие об устойчивости электрических цепей с обратной связью и о критериях устойчивости

Под устойчивостью электрической цепи понимают свойство цепи возвращаться к установившемуся состоянию после прекра­щения действия внешнего возмущения. Если цепь обладает таким свойством, то она устойчива, если не обладает, то неустойчива.

Неустойчивость электрической цепи проявляется в том, что ее выходная величина (напряжение или ток) монотонно возрастает с течением времени либо в цепи возникает колебание токов и на­пряжений с непрерывно возрастающей амплитудой. В реальных электрических цепях за счет нелинейностей и ограниченности ве­личин источников питания в первом случае выходная величина бу­дет ограничена на некотором конечном уровне, а во втором слу­чае будет конечной и постоянной амплитуда колебаний.

Как в первом, так и во втором случае электрическую цепь нельзя использовать для передачи или усиления сигналов, так как в неустойчивой цепи выходная величина перестает зависеть от входной величины. Однако во втором случае электрическая цепь может быть использована для создания синусоидальных колеба­ний (автогенераторы) .или периодических несинусоидальных коле­баний (мультивибраторы, блокинг-генераторы и ряд других устройств).

Основы современных методов исследования устойчивости как электрических цепей, так и других систем были разработаны вы­дающимся русским математиком академиком А. М. Ляпуновым (1857—1918). Более подробно эти методы рассматриваются в дис-

циплине «Системы автоматического управления». Здесь же огра­ничимся рассмотрением оценки устойчивости линейной электриче­ской цепи по виду корней ее характеристического уравнения и по­нятия о критериях устойчивости.

Как показано в разд. 13, физические процессы в линейной электрической цепи с сосредоточенными параметрами после пре­кращения действия на нее внешних возмущений описываются ли­нейным однородным дифференциальным уравнением с постоян­ными коэффициентами

где x(t)—выходная величина электрической цепи (ток или на­пряжение). Решение этого уравнения имеет вид

где A_k— постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями;

p_k — корни характеристического уравнения цепи

Так как коэффициенты этого уравнения а_k вещественны, то его корни p_k могут быть вещественными либо попарно комплексно-сопряженными.

Вещественному корню p_k=a_k соответствует составляющая

Вид этой составляющей в зависимости от знака a_k показан на рис. 19.12.

Паре комплексно-сопряженных корней и соответствует составляющая

где C_k=2A_k.

Вид этой составляющей в зависимости от знака ан изображен на рис. 19.13.

Из рис. 19.12 и 19.13 видно, что для того, чтобы линейная электрическая цепь была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы все корни p_k ее характеристического уравнения имели от­рицательную вещественную часть. Для этого, как показано в пре­дыдущем разделе, необходимо, чтобы характеристический полином цепи был полиномом Гурвица.

В активных цепях с обратной связью в отличие от пассивных цепей характеристический полином может иметь нули и в правой полуплоскости, т.е, не быть полиномом Гурвица. Это видно из вы-

ражения для передаточной функции цепи с обратной связью (19.1), полином знаменателя которой равен разности полиномов знамена­теля и числителя возвратного отношения. Поэтому активная цепь с обратной связью может быть неустойчивой.

Производить оценку устойчивости электрической цепи по виду корней ее характеристического уравнения в случае, если это урав­нение имеет степень выше второй, затруднительно из-за сложно­сти вычисления корней. Кроме того, иногда возникает задача ана­лиза устойчивости электрической цепи по виду ее эксперимен­тально снятых частотных характеристик, заданных в виде графи­ков или таблиц. Характеристическое уравнение цепи в этом случае неизвестно.

Поэтому применяются косвенные методы суждения об устойчи­вости электрических цепей, не требующие вычисления корней ха­рактеристического уравнения или даже определения вида этого уравнения. Эти методы получили название критериев устойчиво­сти, которые разделяют на алгебраические и частотные.

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об отсутствии корней характеристического уравнения в правой по­луплоскости по виду его коэффициентов. Из алгебраических кри­териев устойчивости наибольшее применение на практике находит критерий Гурвица, предложенный швейцарским математиком А. Гурвицем в 1895 г. Этот критерий формулируется следующим образом.

Для того чтобы все корни алгебраического уравнения с веще­ственными коэффициентами

лежали в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы при α_n>0 составленный из коэффициентов уравнения опреде­литель

и все его главные миноры

были положительны.

Определитель (19.19) обычно называют определителем Гур­вица. Он составляется по следующему правилу. На главной его диагонали выписываются коэффициенты уравнения, начиная с а_п-₁. Справа от этих коэффициентов записывают коэффициенты при старших степенях, а слева — коэффициенты при младших сте­пенях. Все коэффициенты, индексы которых превышают п или отрицательны, заменяют нулями.

Пример 19.3.

Произвести оценку устойчивости электрической цепи, если ее характеристи­ческое уравнение имеет вид

.

Решение.

Определитель Гурвица для данного уравнения имеет вид

откуда

Так как определитель Гурвица и все его главные миноры положительны, то все корни характеристического уравнения цепи лежат в левой полуплоскости. Следовательно, электрическая Цепь является устойчивой.

Частотные критерии позволяют судить об устойчивости цепи по виду ее частотных характеристик с замкнутой петлей обратной связи (критерий Михайлова, предложенный советским ученым А. В. Михайловым в 1938 г.) или по виду ее частотных характери­стик с разомкнутой петлей обратной связи (критерий Найквста — Михайлова).

В основе критерия Михайлова лежит рассмотренное в под-разд. 18.5 свойство аргумента комплекса характеристического полинома. Применительно к электрическим цепям этот критерий можно сформулировать следующим образом: для устойчивости электрической цепи необходимо и достаточно, чтобы вектор комп­лекса характеристического полинома при изменении частоты от

нуля до бесконечности повернулся в положительном направлении, начиная с положительной вещественной оси, на число квадрантов, равное порядку, характеристического уравнения цепи.

В качестве примера на рис. 19.14 и 19.15 приведены годографы векторов комплексов характеристических полиномов устойчивой и неустойчивой электрических цепей при п=4.

Для суждения об устойчивости цепи не обязательно вычисле­ние всего годографа вектора комплекса характеристического по­линома, а достаточно, как показано в подразд, 18.5, установить факт чередуемости нулей его вещественной и мнимой частей.

Критерий Найквиста — Михайлова рассмотрен, например, в [9]. Там же более подробно рассмотрены и другие критерии устойчивости.