Головенько к. В., Калашнікова є. І., Рябий о. В. Як вивчити формули комбінаторики?

У публікації розглянуто шляхи підвищення ефективності вивчення формул комбінаторики у процесі систематизації знань змістової лінії «рівняння та нерівності», а саме, створено комплекс завдань, який надає можливість: вивчати комбінаторику систематизуючи знання з такої змістової лінії як рівняння та нерівності; вести підготовку до ЗНО одночасно по двом змістовим лініям – стохастичній, і змістовій лінії «рівняння та нерівності»; вивчити основні формули комбінаторики зробивши їх знання необхідною умовою до розв’язання певного рівняння чи нерівності. Пропоновані у статті рівняння, нерівності та їх системи, містять комбінаторні вирази, після спрощення яких, вони зводяться до звичайних раціональних, ірраціональних, показникових, логарифмічних рівнянь, нерівностей та їх систем.

Ключові слова: стохастична змістова лінія, змістова лінія – рівняння та нерівності, систематизація, перестановка, розміщення, комбінація, рівняння, нерівність, система рівнянь.

Постановка проблеми. Питанню вивчення елементів комбінаторики в школі, зокрема у одинадцятому класі присвячена досить значна кількість публікацій, але не зважаючи на це аналіз результатів зовнішнього незалежного оцінювання дає невтішну картину і можливість зробити наступні припущення:

1) учителі в другому півріччі концентрують свою увагу на інших змістових лініях курсу алгебри та початків аналізу, відмінних від стохастичної;

2) варіанти ЗНО, справедливо, містять незначний відсоток комбінаторних задач;

3) комбінаторика не є домінуючим дієвим елементом при подальшому вивченні математики в школі.

Мета статті. У даній публікації ми робимо спробу створити комплекс завдань який дав би можливість учителям:

1) вивчати комбінаторику систематизуючи знання з такої змістової лінії як рівняння та нерівності;

2) вести підготовку до ЗНО одночасно по двом змістовим лініям: стохастичній, і змістовій лінії рівнянь та нерівностей;

3) вивчити основні формули комбінаторики зробивши їх знання необхідною умовою до розв’язання певного рівняння чи нерівності.

Нижче ми пропонуємо добірку рівнянь, нерівностей та їх систем, які містять комбінаторні вирази і після спрощення зводяться до раціональних, ірраціональних, показникових, логарифмічних.

№1. .

Розв’язання. ; .

Відповідь: .

№2. .

Розв’язання. ;

; ; ;

Відповідь: .

№3. .

Розв’язання.

Відповідь: .

№4. .

Розв’язання.

;

;

Відповідь:

№5. .

Розв’язання. Після спрощень отримаємо ,

Відповідь: .

№6. .

Розв’язання.

є коренем многочлена у лівій частині рівняння, поділивши многочлен на отримаємо:

Відповідь: коренів не має.

№7. .

Розв’язання. ;

, , поділимо обидві частини рівняння на , маємо , .

Відповідь: .

№8.

Розв’язання.

Відповідь: .

№9. .

Розв’язання. , ,

, введемо заміну: , маємо ;

Відповідь: .

№10. .

Розв’язання. ;

;

.

Відповідь: .

№11.

Розв’язання.

,

Нехай , тоді ,

Повертаємося до заміни

Відповідь: .

№12. .

Розв’язання.

Відповідь: коренів не має.

№13. .

Розв’язання. ,

Відповідь: .

№14. .

Розв’язання. ,

.

Нехай тоді , , маємо , . Повертаємося до заміни враховуючи, що

, ,

Відповідь:

№15. .

Розв’язання. ;

Відповідь: .

№16. .

Розв’язання.

;

;

.

Відповідь: .

№17. .

Розв’язання. ,

,

,

або

Відповідь: .

№18. .

Розв’язання. ,

;

Відповідь: .

№19. .

Розв’язання. .

.

Відповідь: .

№20.

Розв’язання.

Відповідь: .

№21.

Розв’язання.

Введемо заміну отримаємо

Повертаємося до заміни:

Відповідь: .

№22.

Розв’язання. ,

Відповідь: .

№23. .

Розв’язання.

Відповідь: .

№24.

Розв’язання.

Відповідь: .

№25. .

Розв’язання. ;

.

Доданки показника степеня лівої частини рівняння утворюють арифметичну прогресію, а їх сума – це сума даної арифметичної прогресії. Знайдемо її: , де n – кількість членів заданої прогресії. . Далі отримаємо: ,

Відповідь: .

№26.

Розв’язання.

Дана нерівність справджується при всіх дійсних значеннях змінної , крім 4.

Відповідь:

№27. .

Розв’язання. ;

1)

2) .

3)

Об’єднаємо отримані розв’язки:

Відповідь: .

№28. .

Розв’язання. Здійснивши обрахунки, маємо:

.

Відповідь: .

№29.

Розв’язання.

Відповідь: .

Нижче пропонуємо добірку задач для самостійного розв’язування.

№30. .

№31. .

№32. .

№33. .

№34. .

№35. .

№36. .

№37. .

№38. .

№39.

№40. .

№41. .

№42. .

№43. .

№44. ;

№45. .

№46. ;

№47. .

№ 48. .

№ 49. .

№ 50. .

№51. .

№52. .

№53. .

№54. .

№55. .

№56. .

№57. .

№58.

№59.

Висновок. Результати експериментального дослідження підтвердили ефективність даної добірки у навчальному процесі.

РЕЗЮМЕ

Головенько К.В., Калашникова Е.И., Рябый О.В. Как выучить формулы комбинаторики. В публикации рассмотрены пути повышения эффективности изучения формул комбинаторики в процессе систематизации знаний содержательной линии «уравнения и неравенства», а именно, создан комплекс задач который позволяет: изучать комбинаторику систематизируя знания такой содержательной линии как уравнения и неравенства; вести подготовку к ВНО одновременно по двум смысловым линиям – стохастической, и содержательной линии «уравнения и неравенства»; изучить основные формулы комбинаторики сделав их знания необходимым условием для решения определенного уравнения или неравенства. Предлагаемые в публикации уравнения, неравенства и их системы, содержащие комбинаторные выражения, после упрощения сводятся к обычным рациональным, иррациональным, показательным, логарифмическим уравнениям и их системам.

Ключевые слова: стохастическая содержательная линия, содержательная линия «уравнения и неравенства», систематизация, перестановка, размещение, комбинация, уравнение, неравенство, система уравнений.

SUMMARY

K. Goloven'ko, E. Kalashnikova, O. Riaby. How to learn the formulas of combinatorics. The publication examined ways to improve learning formulas of combinatorics in the systematization of knowledge semantic line “Equations and Inequalities”, namely, the complex tasks which allows: study combinatorics systemating knowledge such as semantic line equations and inequalities, to prepare for the testing simultaneously two substantial lines - stochastic and substantial lines of equations and inequalities, explore the basic formula of combinatorics making them the knowledge essential to solving certain equations or inequalities. Equations, inequalities and systems containing combinatorial expression after simplification which they are reduced to the usual rational, irrational, exponential, logarithmic equations, inequalities and systems.

Key words: stochastic content line, content line “equations and inequalities”, ordering, permutation, placement, combination, equations, inequalities, systems of equations.

УДК 372.851

М.О. Груба

Сумський державний педагогічний університет ім. А.С. Макаренка, м.Суми