Власенко в.Ф., Розуменко а.М., Розуменко а.О. Раціональне та ірраціональне в математиці

Проблемі формування світогляду присвячені праці з філософії, психології та педагогіки. Науковці аналізують само поняття світогляду, порівнюють різні світогляди в історичному контексті, розглядають окремі складові світоглядної культури людей та акцентують увагу на необхідності її формування. Подальшої розробки потребують методичні аспекти проблеми формування як наукового світогляду учнів у процесі навчання різних тем шкільного курсу математики, так і світогляду студентів при вивченні математичних дисциплін. У статті обґрунтовано можливість формування наукового світогляду учнів та студентів при вивченні математики та запропоновано навчальний матеріал з теми «Ірраціональність у трикутнику та колі», спрямований на розв’язування цього завдання.

Ключові слова: світогляд, математика, раціональне, ірраціональне, трикутник, коло.

Постановка проблеми. В «Національній доктрині розвитку освіти України у XXI столітті» наголошується на необхідності формування у дітей і молоді цілісної наукової картини світу і сучасного світогляду, здібностей і навичок самостійного наукового пізнання [4].

Поняття світогляду трактують як «…узагальнену систему поглядів людини (і суспільства) на світ у цілому, на своє місце в ньому, розуміння і оцінювання людиною смислу свого життя і діяльності, долі людства,сукупність узагальнених наукових, правових, моральних, релігійних, естетичних ціннісних орієнтацій, вірувань, переконань і ідеалів людей» [7,15].

Яким же має бути світогляд сучасної людини? Який світогляд вважати науковим?

В науковій літературі немає чіткого визначення цього поняття. Виділяють тільки основні ідеї, що відіграють вирішальну роль у формуванні світогляду молоді, який можна вважати науковим, а саме:

- матеріальність світу та об’єктивні закономірності його розвитку;

- рух як форма існування матерії;

- розвиток та боротьба протилежностей;

- пізнавальність світу та її закономірності;

- практика як основа пізнання і критерій істини;

- вирішальна роль праці в формуванні людини;

- значення духовного виробництва в розвитку суспільства;

- роль суспільної свідомості;

- роль та місце особистості в суспільному процесі;

- значення загальнолюдських цінностей в розвитку сучасного світу.

Математика як наука і як навчальний предмет має унікальні можливості щодо формування наукового світогляду тих, хто її вивчає. Завдання викладача полягає у виборі навчального матеріалу, на якому можна акцентувати увагу учнів або студентів на вище зазначених ідеях.

Аналіз актуальних досліджень. Проблемі формування світогляду присвячені праці з філософії, психології та педагогіки. Науковці аналізують само поняття світогляду, порівнюють різні світогляди в історичному контексті, розглядають окремі складові світоглядної культури людей та акцентують увагу на необхідності її формування. На нашу думку, потребують подальшої розробки методичні аспекти проблеми формування як наукового світогляду учнів у процесі навчання різних тем шкільного курсу математики, так і світогляду студентів при вивченні математичних дисциплін.

Мета статті: обґрунтувати можливість формування наукового світогляду учнів та студентів при вивченні математики та запропонувати навчальний матеріал з теми «Ірраціональність у трикутнику та колі», спрямований на розв’язування цього завдання.

Виклад основного матеріалу. Однією з основних ідей, що мають вирішальне значення у формуванні наукового світогляду є розвиток і боротьба протилежностей. У математиці ця ідея «реалізується» зокрема через індуктивний та дедуктивний методи доведення, алгоритмічний та евристичний підходи до розв’язування задач, розуміння «випадкового» у теорії ймовірностей та «закономірного» у геометрії тощо. Цікавим є питання співіснування раціонального та ірраціонального в різних математичних об’єктах. Саме цьому питанню і присвячена стаття.

Загальні зауваження. Уперше «раціональне» та «ірраціональне» зустрілися в Стародавній Греції приблизно в V-IV ст. до н.е. і спричинили першу кризу в історії математики. Причиною її стало відкриття піфагорійцями несумірних величин на прикладі несумірності діагоналі квадрата з його стороною. Це означало, що взявши за одиницю вимірювання сторону квадрата, неможливо діагональ квадрата виразити раціональним числом.

Зауважимо, що в курсі алгебри середньої школи доводиться, що - ірраціональне число. Доведення піфагорійцями цього факту було першим відомим в історії математики доведенням «від супротивного».

Як відомо, на той час використовували тільки раціональні числа, які обожнювались піфагорійцями. Отже, основна філософська теза піфагорійців «Все є число» була порушена. Потрібно було шукати вихід із становища, яке склалося.

Оскільки відношення сумірних величин, які визначають раціональні числа, є тільки частиною відношень величин, стародавні греки стали вживати геометричні відношення, які є більш загальними. Геометричні величини найбільш зручні та наочні для оперування ними. Грецькі математики стали будувати математику не на основі додатних раціональних чисел (ця основа виявилася недостатньою), а на основі геометрії, визначивши для геометричних величин усі арифметичні операції. В результаті було побудовано геометричну алгебру.

Об’єктами геометричної алгебри є відрізки, прямокутники, паралелепіпеди. Додавання відрізків здійснювалось їх послідовним прикладанням, віднімання – вилученням з більшого відрізка частини, рівної відрізку – від’ємнику. Відрізок ототожнювався з числом.

Добутком двох відрізків вважався побудований на них прямокутник, трьох відрізків – побудований на них паралелепіпед. Більшої розмірності добутки неможливі.

В першому реченні другої книги «Начал» Евкліда обґрунтовується геометрично розподільний (дистрибутивний) закон множення: якщо прямокутник побудовано на відрізках і (рис. 1) і один з них поділено на частини , то . Цей підхід дозволив вперше довести і деякі алгебраїчні тотожності, наприклад відому формулу квадрата суми .

Рис. 1.

Основи геометричної алгебри були закладені та розвинені піфагорійцями, для яких мало значення точне знання, «діагональ в самій своїй суті», як говорив про це філософ Платон (427-347 рр. до н.е.), а не допустиме наближене значення. Іншої думки дотримувались математики Сходу: для них кожний відрізок, площа, об’єм були просто числами, які можна було знаходити або точно, або наближено. Це була практична точка зору.

«Раціональне» та «ірраціональне» взаємопов’язані в різних математичних об’єктах. Геометрія трикутника і кола дозволяє розкрити ці зв’язки. Геометричні твердження, що обґрунтовані нижче, можуть бути запропоновані учням і студентам як у готовому вигляді для опрацювання, так і для самостійного доведення.