Содержание курса. Первый семестр

РАЗДЕЛ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Тема 1. Предел и непрерывность функции.

§ 1. Множество действительных чисел. Понятие функции. Способы задания функций. Элементарные функции. Простейшие неэлементарные функции.

§ 2. Числовая последовательность и ее предел. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Односторонние пределы. Два замечательных предела.

§ 3. Приращение функции. Возрастание и убывание функции. Непрерывность функции. Точки разрыва функции и их классификация. Свойства непрерывных функции.

Тема 2. дифференциальное исчисление функции одной переменной

§ 1. Определение производной. Дифференцируемость и непрерывность функций. Геометрический, физический и экономический смысл производной. Свойства производной. Правила дифференцирования

(включая производные сложной и обратной функции).

§ 2. Теоремы Рояля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя.

§ 3. Дифференциал функции, его связь с производной. Геометрический смысл дифференциала и его использование в приближенных вычислениях. Производные и дифференциалы высших порядков.

§ 4. Исследование функций с помощью дифференциального исчислении. Условия возрастания и убывания функции. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

§ 5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба и их нахождение. Асимптоты. Общая схема исследования функции.

§ 6. Формулы Тейлора 11 Маклорена. Примеры разложения элементарных функций по формуле Маклорена. Литература: [4, § 1.4.14, стр. 56-57], [7, гл. 5, § 6]. Упражнения: [7, гл. 5 упр. 269-271].

Тема 3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Полное и частное приращение функций. Частные производные. Дифференцируемость к дифференциал функции. Геометрический смысл дифференцируемости функции двух переменных.

Производная по направлению. Градиент и его свойства. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие для случая двух независимых переменных. Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции нескольких переменных. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов).

раздел II. интегральное исчисление. дифференциальные уравнения. Ряды

Тема 4. интегралы.

§ 1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: пшена переменной, интегрирование по частям.

§ 2. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

§ 3. Геометрические приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры, объем тела вращения. Приближенные методы вычисления определенного интеграла: формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона.

§ 4. Несобственные интегралы. Понятие о кратных интегралах.

Тема 5. Дифференциальные уравнения

§1. Понятие о дифференциальном уравнении. Примеры торгово-экономических задач, приводящие к дифференциальным уравнениям. Порядок дифференциального уравнения. Семейство решений. Теорема существования и единственности решения (без доказательства). Задача Коши. Геометрическое истолкование решения. Общее и частное решение дифференциального уравнения.

Уравнения с разделяющимися переменными. Линейное уравнение первого порядка. Возможные случаи понижения порядка дифференциального уравнения (на примере уравнений второго порядка), когда в его записи отсутствуют независимая переменная или искомая функция.

§ 2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка. Структура общего решения. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Неоднородные линейные дифференциальные -уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Подбор частных решений при специальном виде правой части.

Тема 6. Ряды

§ 1. Числовые ряды. Сходимость ряда. Сумма ряда Свойства рядов. Необходимое условие сходимости ряда. Теорема сравнения. Признаки сходимости Даламбера, Коша. Знакочередующиеся ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

§ 2. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости. Разложение элементарных функций в ряд Маклорена или Тейлора.

§ 3. Использование рядов для приближенных вычислений.