Законы сохранения в ядерных реакциях Задача 3.1

α -Частица с кинетической энергией Т_α = 1,0 МэВ упруго рассеялась на покоящемся ядре ⁶Li. Определить кинетическую энергию ядра отдачи, отлетевшего под углом φ = 30º к первоначальному направлению движения α-частицы.

Решение

Запишем законы сохранения энергии и импульса:

;	(3.1.1)
.	(3.1.2)

И зобразим графически закон сохранения импульса для процесса упругого рассеяния α-частицы на покоившимся ядре ⁶Li, которое произошло в точке «о». Верхние правые индексы «′» обозначают величины после рассеяния.

По теореме косинусов

.

(3.1.3)

Так как энергия покоя частиц Мс² >> Т_α, то можно использовать классическую связь между импульсом и кинетической энергий. Тогда (3.1.3) приобретает вид:

.

(3.1.4)

Выразим из (3.1.1), подставим в уравнение (3.1.4) и, освободившись от иррациональности, получим

.

(3.1.5)

Э та же задача может быть решена с помощью векторной диаграммы импульсов для упругого рассеяния, построение которой приведено на рис. 3.1. Построение векторной диаграммы импульсов для поставленной задачи изображено на рисунке слева. Энергия ядра ⁶Li после соударения выражается через его импульс следующим образом

.

(3.1.6)

Но длина отрезка CB соответствует величине импульса . Для нахождения отрезка CB используем равнобедренный треугольник COВ:

СВ = 2ОВ·cosφ.

Тогда

.

Подставляя последнее выражение в (3.1.6), получим окончательно

Полученное выражение для энергии полностью совпадает с выражением (3.1.5), но получено гораздо проще, что и определяет применение векторной диаграммы импульсов.

Задача 3.2

Н ерелятивистский дейтон упруго рассеялся на покоящемся ядре под углом 30º. Под таким же углом к направлению движения налетающего дейтона отлетело и ядро отдачи. Какому атому принадлежит это ядро?

Решение

Рассмотрение кинематики упругого рассеяния позволяет определить только массовое число ядра.

И зобразим графически закон сохранения импульса. Из равнобедренного треугольника АВС находим, что

.

Подставляя полученные значения импульсов в закон сохранения энергии (3.1.1), получим

,

откуда

а.е.м.

Рассеяние ядра дейтерия произошло на ядре протия.

Задача 3.3

Построить векторные диаграммы импульсов для упругого рассеяния нерелятивистской α-частицы на покоящемся ядре:

а) ⁶Li, ⁴Не, ²Н, если угол рассеяния в α-частицы в СЦИ равен 60º. В каком случае связь между кинетической энергией рассеянной α-частицы и углом ее рассеяния неоднозначна? Найти для этих трех случаев значения максимально возможного угла рассеяния α-частицы.

Решение

Для анализа упругого рассеяния α-частицы построим векторные диаграммы импульсов для всех трех случаев.

а) рассеяние α-частицы на ядре ⁶Li.

О трезок АВ, изображающий импульс налетающей α-частицы, делим на 5 равных частей, т.к. m_α : M(⁶Li) = 2 : 3. От точки А отсчитываем две части и ставим точку О. Из точки О радиусом ОВ проводим дугу ВD. Под углом = 60º из точки О проводим луч до пересечения с дугой ВD. Точку пересечения обозначаем буквой С и соединяем ее с точками А и В. Полученный отрезок АС и угол изображают величину импульса α-частицы и направление ее движения после рассеяния в ЛСК, а отрезок СВ – и угол φ величину импульс ядра и направление движения ядра ⁶Li после соударения также в ЛСК. Для различных параметров удара точка С может располагаться на дуге ВD в любом месте от точки B и до точки D. При этом величина импульса α-частицы после рассеяния (длина отрезка АС) однозначно связана с углом или углом . Следовательно и кинетическая энергия T = P²/2m в этом случае является однозначной функцией угла рассеяния а обеих системах координат. Максимальные углы рассеяния и в этом случае определяются положением точки С при ее совпадении с точкой D и равны π.

б ) Рассеяние α-частицы на ядре ⁴Не.

Так как массы сталкивающихся частиц равны, то отрезок АВ делим на две равные части и проводим дугу ВD с центром в точке О. Далее построения не отличаются от построений в предыдущем пункте задачи. В этом случае связь кинетической энергии рассеянной α-частицы с углами рассеяния оказывается также однозначной в обеих системах координат. Предельное значение угла также стремиться к π. Однако, как нетрудно заметить, предельное значение угла  стремиться к π/2. Из этого следует важный вывод о том, что угол рассеяния двух тел с одинаковой массой не может превышать π/2.

в) рассеяние α-частицы на ядре ²Н.

О трезок АВ, изображающий импульс налетающей α-частицы, делим на 3 равных части, т.к. m_α : M(²Н) = 2 : 1. От точки А отсчитываем две части и ставим точку О. Далее построения не отличаются от построений в предыдущих пунктах а) и б). Из диаграммы следует, что одному значению угла рассеяния в ЛСК соответствуют две возможные величины импульса рассеянной α-частицы (отрезки AD и АС), а, следовательно, и два возможных значения кинетической энергии рассеянной α-частицы. Максимальное значение угла рассеяния α-частицы в СЦИ будет равно π. В ЛСК максимальное значение угла определяется положением касательной . Из прямоугольного треугольника сразу следует, что

и, следовательно,

.