2. Одноканальні системи масового обслуговування з відмовами.

Розглянемо найпростішу СМО – одноканальну систему з відмовами. Такою системою, наприклад, є вогнева одиниця, яка веде вогонь по цілях, що надходять до зони ураження (або виявлення) послідовно з деяким інтервалом часу. Система може знаходитися в одному з двох станів:

S₀ – система вільна;

S₁ – система зайнята обслуговуванням.

Систему можна відобразити графом (рис.2), що має дві вершини (два стани). Систему із одного стану до другого переводять два різних потоки: потік заявок, що надходить до СМО на обслуговування, та потік заявок, що обслуговані системою.

Будемо вважати, що до системи надходить стаціонарний пуассонівський потік заявок з інтенсивністю (щільністю) λ = 1/Т₃, де Т₃ – математичне сподівання часу між сусідніми заявками. Час обслуговування заявки випадковою величиною з щільністю розподілення де μ – інтенсивність обслуговування, μ = 1/Т_обс (Т_обс – математичне сподівання часу обслуговування заявки).

Таким чином, для даного типу СМО відомі характеристики потоку заявок, що надходять на обслуговування λ, параметри СМО (кількість каналів n = 1, продуктивність каналу μ) та умови роботи системи (потік подій найпростіший, СМО з відмовами).Потрібно визначити характеристики станів системи та її показники ефективності.

Математичне дослідження процесу функціонування системи ґрунтується на таких принципах, що були розглянуті для безперервних марковських ланцюгів. Позначимо ймовірність станів p₀(t) і p₁(t). Очевидно, що для будь-якого моменту t

(1)

Складемо диференціальні рівняння Колмогорова для ймовірностей станів:

(2)

Із двох рівнянь (2) одне є зайве, тому що p₀(t) і p₁(t) пов’язані співвідношенням (1). Враховуючи це, в перше рівняння замість p₁(t) підставимо 1 – p₀(t), тоді отримаємо:

або (3)

Це рівняння розв’язується при початкових умовах p₀(0) = 1, p₁(0) = 0 (у початковий момент канал вільний). Розв’язання диференціального рівняння (3) з одним невідомим p₀(t), коли λ = const та μ = const, що задовольняє початковим умовам, має вигляд:

За аналогією з другого рівняння (6.33) для початкової умови p₀(0) = 1 та p₁(0) = 0 отримаємо:

При збільшенні t імовірність p₀(t) зменшується, а p₁(t) збільшується, при цьому зміна ймовірностей станів системи здійснюється за експоненціальним законом.

При та

тобто p₀(t) та p₁(t) прямують до постійних величин і перестають залежати від t, їх похідні дорівнюють нулю і система диференціальних рівнянь (2) перетворюється в систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

яка разом з умовою, що дозволяє знайти граничні імовірності станів системи

(4)

Аналізуючи одержані значення, розглянемо окремий випадок роботи системи, коли λ = μ, тобто коли Т_З = Т_обс. Здавалося б, що за таких умов система здатна задовольнити всі заявки. Але формула дає значення p₀ = 0,5, тобто система може в середньому обслуговувати лише 50 % заявок. Це стає зрозумілим, якщо згадати, що моменти надходження заявок є випадковими і не узгоджені за часом з моменту звільнення системи після обслуговування, які теж є випадковими.

Показники ефективності СМО знаходять для оцінки роботи систем з обслуговування заявок в установленому стаціонарному режимі, оскільки тривалість цього режиму роботи СМО суттєво більше тривалості перехідних процесів.

Ефективність роботи одноканальної СМО з відмовами оцінюється за допомогою ряду показників. Розглянемо основні з них.

1. Імовірність відмови Р_від. Заявка не буде прийнята до обслуговування та отримає відмову у тому разі, якщо надійде до системи в момент, коли канал буде зайнятий обслуговуванням заявки, що надійшла раніше. Імовірність цієї події дорівнює p₁:

(5)

Імовірність відмови Р_від являє собою середню частку необслугованих заявок серед тих, що надійшли.

2. Імовірність обслуговування Р_обс визначається як імовірність протилежної події

. (6)

3. Відносна пропускна здатність системи. Р_обс показує, як часто будуть обслуговуватися заявки, що надходять у СМО, тобто це середня відносна кількість заявок, які обслуговані системою. Тому імовірність обслуговування є відносною пропускною здатністю системи:

. (7)

4. Абсолютна пропускна здатність системи А – середня кількість заявок, що обслуговані системою за одиницю часу

А = λq, (8)

Таким чином визначаються характеристики станів і показники ефективності одноканальної системи масового обслуговування з відмовами.