1.5 Оптимизация надежности системы с раздельным резервом методом Лагранжа

При разработке системы может возникнуть следующая задача: необходимо обеспечить максимальную надежность системы, используя резервирование, не превысив заданного «веса». Весом может быть стоимость, масса, габариты и так далее.

Пусть основная подсистема состоит из N последовательно соединенных элементов. Вероятность безотказной работы i-го элемента за наработку t:Р_i(t); вес этого элемента W_i. Система должна непрерывно работать заданное время t.Cледовательно резерв должен быть нагруженным. Считаем, что поток отказов простейший, отказавшие элементы в процессе работы системы не восстанавливаются; переключатели абсолютно надежные; каждый элемент резервируется аналогичными элементами, то есть эти элементы равнонадежные.

Примем следующие обозначения:

Р_i(t)=P_i;

Q_i(t)=Q_i=1-P_i

Задан вес системы с резервом W_з

Вероятность безотказной работы системы с раздельным нагруженным резервом за заданную наработку

где М_i – число элементов в i- ой группе.

Вес системы с резервом

Задача сводится к отысканию целых чисел, при котором выполняется

Р_с.р=Р_с.max. и вес системы с резервом

Положим, что для любого числа, а не только целые, удовлетворяющие следующему условию:

при которых

Обозначим точку N – мерного пространства с координатами

Точка является точкой условного экстремума функции (2) при выполнении условия (1).

Очевидно, целочисленные значения М_i при которых вероятность безотказной работы системы Р_с.р обращаются в max, следует искать среди ближайших целых чисел от

Согласно методу Лагранжа из теории условного экстремума можно утверждать, что существует такой неопределенный множитель при котором выполняется равенство:

где - число элементов в j-ой группе.

В общем случае для

Заменяя сумму разности на разность сумм и вводя новые обозначения получим:

Для нахождения значений по формуле (5), которая соответствует точке экстремума функции необходимо определить величину у, которая удовлетворяет равенству (6). Из равенства видно, что при увеличении у от 0 до правая часть соотношения (6) будет изменяться от Отсюда следует: существует единственный корень у₀>0. Определив у₀>0 и подставив его в (5)

найдем , которая соответствует точке экстремума. Для нахождения значения корня у₀ используем метод последних приближений Ньютона.

Обозначим

Первое приближение получим, приняв в формуле (6)

Ln(a_i+у)=ln у

и так далее.

По аналоги можно определить последующие приближения, остановившись на достаточном приближении у₀ в формуле (5) , получим

Эти значения (i=1…N) округлим до ближайшего целого значения; при округлении обеспечиваем равенство: Р_с.р=Р_с.max

при условии, что

Таким образом, найденные целые значения М_i позволяют получить Р_с.р=Р_с.max

при , то есть спроектировать систему с оптимально раздельным нагрузочным резервом.

1.6 Надежность восстанавливаемых резервированных систем Резервированная восстанавливаемая система как система массового обслуживания

Пусть кратность резервирования системы m. Заданная наработка системы t. В процессе работы на заданном интервале времени подсистемы могут отказывать и система изменяет свои состояния : H₀, H₁, …, H_m+1 ,

где H₀ – все подсистемы работоспособны;

H₁ – отказала одна подсистема;

H_m+1 – отказали m+1 подсистем .

Отказавшие подсистемы восстанавливаются и включаются в работу по мере необходимости, то есть при восстановлении работоспособности у отказавшей подсистемы резервированная система переходит из состояния Н_j в состояние Н_j-1.

С читаем, что потоки отказов и восстановлений простейшие, тогда процесс в резервированной восстанавливаемой системе можно представить, как процесс системы массового обслуживания в виде марковской схемы:

Стрелки – линии переходов, которые показывают возможные пути перехода системы из состояния Н_j в состояние H_j+1, если отказала одна из подсистем, или в состояние Н_j-1, если отказавшая подсистема восстановлена. Величины и - соответствующие интенсивности таких переходов.

Если интенсивность M_m+1=0, то это означает, что система, попав в состояние Н_m+1, выйти из него не может, и такая система называется системой с поглощающим экраном. Если М_m+1 0, то система, попав в состояние Н_m+1 может в дальнейшем изменить свое состояние после восстановления одной из отказавших подсистем и называется системой с отражающим экраном.

Такое разделение систем является условным, так как при нахождении вероятности безотказной работы и средней наработки до отказа система будет с поглощающим экраном, а при оценке коэффициента готовности и средней наработки на отказ система будет с отражающим экраном.

По характеру восстановления подсистем различают резервированные системы: с полностью ограниченным, частично ограниченным и неограниченным восстановлением.

Если М_j= , где - интенсивность восстановления одной подсистемы, j=1…m+1, то имеет место система с полностью ограниченным восстановлением.

Е сли

где K- число ремонтных бригад,то имеет место система с частично ограниченным восстановлением.

Если , то - система с неограниченным восстановлением.