Краткая теория

Вращательное движение твердого тела относительно неподвижной оси (например, Х) описывается уравнением:

M_x = I_x∙ ε, (1)

где I_х – момент инерции твердого тела относительно неподвижной оси ОХ, М_х – проекция момента внешних сил на ту же ось, ε – угловое ускорение.

Опытная проверка основного уравнения динамики вращательного движения твердого тела может быть выполнена на маятнике Обербека.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

М аятник Обербека представляет собой крестовину 1, на оси которой имеется двухступенчатый шкив 2. Ось шкива установлена горизонтально и закреплена в подшипник. Вращение крестовины осуществляется силой натяжения нити 4, намотанной на шкив. Изменение силы натяжения производится с помощью грузов 5 различной массы m, прикрепляемых к свободному концу нити. Изменение момента инерции прибора достигается передвижением 4-х грузов 3 одинаковой массы m₁ = (200,0 ± 0,1) г и формы направляющих крестовины.

На вертикальной колонне прикреплены линейка 6 и два кронштейна: нижний 8 - неподвижный и верхний 7 - подвижный. Нижний кронштейн 8 можно перемещать вдоль колонны и высоту h падения груза m фиксировать в любом положении, определяя, таким образом, длину нити спада грузов, для этого на линейке 6 нанесена мм-шкала.

Измерение и обработка результатов

Момент силы натяжения нити и угловое ускорение маятника можно вычислить, если известно ускорение поступательного движения груза а. Ускорение легко определяется из измерений времени t и пройденного пути h:

а = 2h/t². (1)

Это ускорение равно тангенциальному ускорению а_τ точек, лежащих на поверхности шкива маятника на расстоянии R от оси вращения. Тогда из соотношения а = а_τ = εR следует:

ε = a/R = 2h/Rt². (2)

Силу натяжения нити Т можно найти из уравнения движения груза m: Т = m (g - a). Тогда момент силы

М_х = TR = m (g - 2h/t²)R. (3)

Выражение (3) получено без учета сил трения, возникающих в оси прибора при его вращении.

Экспериментальную проверку основного уравнения динамики вращательного движения с помощью маятника Обербека можно провести двумя способами:

1. При I = const используется зависимость ε от М_х. При этом изменение М_х осуществляется изменением либо массы груза m₁, подвешенного к нити, либо радиуса шкива, на который наматывается нить.

2. Из эксперимента с помощью соотношений (1, 2, 3) при m = const и R = const рассчитываются значения I₁ и I₂ при разных, но симметричных положениях груза на крестовине.

Разность I₁ – I₂ должна удовлетворять соотношению

I₁ – I₂ = 4m (ℓ₁² – ℓ₂²), (4)

т. к. I_i = I₀ + 4I_от + 4 m₁ℓ_i², (5)

где I₀ – момент инерции прибора без грузов, 4m₁ℓ_i² – момент инерции грузов относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через их центр масс, ℓ_i – расстояние грузов от оси вращения прибора, I_от – момент инерции грузов с учетом их размера, т.к. они строго не являются материальными точками (см. рис. 2).

ХОД РАБОТЫ

Задание 1

1. Измерьте штангенциркулем радиус двухступенчатого шкива R₁ и R₂.

2. Отсчитайте по шкале на колонне длину пути h.

3. Установите грузы m₁ на расстоянии ℓ₁ от оси вращения крестовины и измерьте его линейкой.

4. Закрепите нить на штативе радиусом R₁ или R₂.

5. Установите минимальную массу груза m, m = (53,0 ± 0,1) г

6. Запишите измеренное значение времени движения грузов.

7. Измерение повторите не менее 3-х раз и определите среднее время движения грузов: .

8. Выполните пункты с 6 по 7, последовательно увеличивая массу грузов.

9. У становите грузы m₁ на расстоянии ℓ₂ от оси вращения и измерьте его линейкой.

10. Выполните измерения, согласно пунктам 4 -7.

11. По экспериментальным данным проведите расчет М и ε, используя соотношения (2) и (3).

Постройте график зависимости ε = f (M), определите значения моментов инерций I₁ и I₂ и момент сил трения из графиков (см. рис. 3).

I = ctg α = (M - М_тр)/ε

12. Оцените погрешность измерения величин I₁ и I₂.

Задание 2

Используя экспериментальные результаты Задания 1, проверьте справедливость соотношения (4) с учетом погрешностей измерения.

Используя экспериментальные результаты, проведите оценку величин I₀ и 4I_от = 4mb²/12 + 4mr²/4, где b – длина груза, b = (2,0 ± 0,1) см; r – радиус груза, r = (2,0 ± 0,1) см.

По результатам работы сделайте выводы.

Таблица для записи результатов

h, м	R, м	m; 10-3 кг	t1, с	t2, с	t3,с	< t >, с	ε, рад/с2	М, Н/м
		56
		56+50
		106+50
		156+50

Δm= 0,5 г

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5