ЧАсть 1. Определение погрешностей при прямых измерениях
Цель работы: научиться рассчитывать погрешности в случае прямых измерений.
Краткая теория
Прямое измерение – измерение, когда искомое значение находят непосредственно по показаниям приборов. Измерение, при котором искомое значение физической величины получаем вычислением на основании ее зависимости от величин, измеряемых прямо, называют косвенным.
Погрешность
результата измерения
есть отклонение результата измерения
(наблюдения) х
физической величины от ее истинного
значения хn.
Погрешность
,
выраженную в единицах измеряемой
физической величины, называют абсолютной,
в долях или процентах значения измеряемой
величины – относительной,
т.е.
.
Многократные
измерения
позволяют
уменьшить влияние случайных погрешностей
и оценить доверительную границу этих
погрешностей.
Надо измерить некоторую величину х. Пусть х1, х2, х2, …, хn – результаты отдельных измерений, n – число отдельных измерений. Среднее арифметическое из этих результатов:
(1)
есть величина, близкая к истинному значению, она называется средним значением величины х.
Разности Δх1, Δх2, Δх3,… Δхn между средним значением <x> измеряемой величины и значениями хi, полученными при отдельных измерениях, т.е.
,
(2)
называют ошибками или погрешностями отдельных измерений, которые могут быть положительными и отрицательными.
Для определения средней абсолютной ошибки результата берут среднее арифметическое абсолютных значений (модулей) отдельных ошибок, т.е.
.
(3)
характеристикой случайной погрешности среднего арифметического (мерой рассеяния) является средняя квадратичная погрешность результата измерения:
,
(4)
где
-
погрешность i-го
измерения. Величины S<x>
называют стандартной погрешностью.
Доверительная граница погрешности для заданной надежности вычисляется по формуле
,
(5)
где t,n – коэффициент Стьюдента, зависящий от требуемой надежности (доверительной вероятности) и числа измерений n. Коэффициент Стьюдента находится по соответствующей таблице. Обычно полагают = 0,95.
Стандартная
погрешность может рассматриваться как
доверительный интервал погрешности
(
S<x>
при
t,n
=1). при
этом надежность
= 0,6 – 0,7 в зависимости от числа измерений.
Таблица 1
Значение коэффициента Стьюдента t,n
Число измерений, n |
Надежность, α |
||||||
0,6 |
0,7 |
0,8 |
0,9 |
0,95 |
0,98 |
0,999 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
2 |
1,38 |
2,0 |
3,1 |
6,3 |
12,7 |
31,8 |
636,6 |
3 |
1,06 |
1,3 |
1,9 |
2,9 |
4,3 |
6,9 |
31,6 |
4 |
0,98 |
1,3 |
1,6 |
2,4 |
3,2 |
4,5 |
12,9 |
5 |
0,94 |
1,2 |
1, 5 |
2,1 |
2,8 |
3,7 |
8,6 |
6 |
0,92 |
1,2 |
1, 5 |
2,0 |
2,6 |
3,4 |
6,9 |
7 |
0,90 |
1,1 |
1, 4 |
1, 94 |
2,4 |
3,1 |
6,0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
8 |
0,90 |
1,1 |
1, 4 |
1, 9 |
2,4 |
3,0 |
5,4 |
9 |
0,90 |
1,1 |
1, 4 |
1, 86 |
2,3 |
2,9 |
5,0 |
10 |
0,88 |
1,1 |
1, 4 |
1, 8 |
2,3 |
2,8 |
4,8 |
15 |
0,87 |
1,1 |
1, 3 |
1, 8 |
2,1 |
2,6 |
4,1 |
20 |
0,86 |
1,1 |
1, 3 |
1,7 |
2,1 |
2,5 |
3,9 |
40 |
0,85 |
1,1 |
1, 2 |
1,7 |
2,0 |
2,4 |
3,5 |
∞ |
0,84 |
1,0 |
1,1 |
1,76 |
2,0 |
2,3 |
3,3 |