Краткая теория

Математическим маятником называют материальную точку, повешенную на невесомой нерастяжимой нити.

На математический маятник действует сила тяжести и сила натяжения нити .

При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ составляющая силы тяжести , равная , будет играть роль возвращающей силы (рис. 1).

При малых колебаниях маятника, когда угол φ столь мал, что , где ℓ - длина нити математического маятника, возвращающая сила пропорциональна углу φ, и колебания маятника можно считать гармоническими (рис. 1). В этом случае уравнения движения маятника имеет вид: . Знак «минус» в правой части уравнения показывает, что возвращающая сила направлена в сторону, противоположную направлению возрастания смещения х.

Физическим маятником называют любое твердое тело, которое под действием силы тяжести Р = mg может свободно качаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О, называемой осью качания маятника. Центр тяжести маятника совпадает с его центром масс С. Точка О пересечения оси качания маятника с вертикальной плоскостью, проходящей через центр тяжести маятника и перпендикулярной оси качания, называется точкой подвеса маятника.

Е сли силами трения в подвесе можно пренебречь, то момент относительно оси качания маятника создает только сила тяжести mg. При отклонении маятника на угол α эта сила создает момент, численно равный mgd∙sinα и стремящийся возвратить маятник в положение равновесия (α = 0). Поэтому уравнение движения физического маятника имеет вид:

_.

Математический и физический маятники при малых углах отклонения от положения равновесия совершают гармонические колебания, периоды которых определяются:

, (1)

где g – ускорение свободного падения, ℓ – длина маятника.

, (2)

где I – момент инерции, m – масса маятника, d – расстояние от точки подвеса до центра масс.

Для физического маятника вводится понятие приведенной длины L_пр, т.е. длины такого математического маятника, который колеблется с периодом, равным периоду данного физического маятника. Тогда формула 2 примет вид:

, (3)

где L_пр = I/ma – приведенная длина физического маятника.

М ожно доказать, что если перенести ось качания вдоль прямой, соединяющей прежнюю ось качания и центр тяжести, на расстояние L (в центр качания), то маятник будет качаться с тем же периодом, что и ранее.

Для измерения ускорения свободного падения используют физический маятник особой конструкции, который носит название оборотного. Простейший оборотный маятник состоит из стержня, снабженного двумя подвижными грузами и двумя упорами с ножевыми призмами, на которые подвешивают маятник. Период колебаний маятника определяют экспериментально, измеряя время t некоторого числа колебаний n:

T = t/n. (4)