3.Средние величины.

1.Понятие о средних величинах и их значениях.

В роли обобщающих показателей в статистике широко используются средние величины. Средняя величина представляет собой обобщающую величину, которая характеризует размер определенного варьирующего признака у единицы качественно однородной совокупности в целом совокупности или для ее отдельных частей.

Во многих случаях средняя величина может быть рассчитана на основе итоговых данных по совокупности, путем деления соответствующего итога изучаемого показателя на число единиц (или явлений) в этой совокупности:

Роль средних величин в статистике велика. В каждом явлении и его развитии имеет место сочетание случайности и необходимости. При исчислении средних в силу действия ЗБЧ случайности взаимно погашаются, уравновешиваются. Именно благодаря применению средней статистика, имея дело с массовыми данными, получает возможность переходить от единичного к общему, от случайного – к закономерному. Без средних показателей, отражающих реально достигнутые, обычные уровни, возможно сопоставление изучаемого признака ???? совокупностям, невозможна характеристика изменения варьирующего показателя во времени и т.п. Средняя величина абстрактна так как она не подменяет конкретных индивидуальных значений. Но именно в этой абстракции, в способности абстрагирования от случайности отдельных значений колебаний и заключений, научная ценность средних как обобщающих характеристик совокупностей.

Дошел до сих пор!

Когда мы встречаем в статистических сводках сведения таких показателях, как производительность труда, себестоимость, реальных доход, потребление того или иного продукта и т.п. то мы прекрасно понимаем, что речь идет о средних показателях отражающих общее, типичное, закономерное.

Замечание. Средние выполняют свою речь только в том случае, если рассчитаны для качественно однородной совокупности.

Нельзя, например, рассчитать среднюю себестоимость такой разнородной продукции, как уголь, автомобили и ткани.

В случаях, когда внутри совокупности существует относительно-однородные части и группы, необходимо рассчитывать групповые средние. Общая и групповые средние отражают влияние разных условий: общая средняя отражает некоторая общие черты изучаемого явления, а групповые средние - уровень явления в более конкретных условиях.

При расчете среднего значения варьирующего признака могут применяться разные виды средних величин:

- средняя арифметическая;

-средняя гармоническая;

-средняя прогрессивная;

-средняя хронологическая;

-средняя геометрическая;

-структурные средние (мода, медиана, квартиль, дециль)

Выбор вида средней величины зависит от экономической сущности исчисляемого (осредняемого) показателя и характера исходных данных.

2.Виды средних величин.

• Средняя арифметическая

Это средняя наиболее часто встречается в статистике. Различают простую и взвешенную средние.

1. Простая средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда имеются значения признака по каждой единице совокупности или когда каждое значение признака встречается в совокупности одинаковое число раз. Вычисляется как частное от деления суммы значений всех вариантов на общее число единиц.

-значение признака (ί- го варианта)

-средняя арифметическая

2. Взвешенная средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда каждое значение признака встречается в совокупности неодинаковое число раз.

Для вычисления взвешенной средней арифметической необходимо каждое значение признака(варианта) умножить на его вес ( частоту или частость), полученные знания просуммировать и эту сумму поделить на сумму весов вариантов.

-значение признака(ί- го варианта)

- вес - го варианта

- взвешивание .

Рассмотрим расчет средней арифметической на примере дискретных и интервального рядов.

Пример 1.

Распределение рабочих по выработке деталей.

Порядковый № рабочего	Изготовлено деталей одним рабочим, шт. х
1	10
2	14
3	16
4	22
5	23
Итого:	85

Вопрос: Сколько в среднем деталей изготовлено одним рабочим?

Решение:

Находим простую среднюю арифметическую

Пример 2.

Распределение рабочих по выработке деталей

Изготовлено деталей одним рабочим, шт. х	Число рабочих f	X*f
10	1	10
14	3	42
16	5	80
22	7	154
23	4	92
Итого:	20	378

Вопрос: Сколько в среднем деталей изготовлено одним рабочим?

Решение:

Находим взвешенную среднюю арифметическую:

=19(дет.)

Пример 3.

Распределение студентов по росту.

Рост студентов, см. х	Число студентов, f	Середина интервала	X*f
До 165	3	162,5	487,5
165-170	7	167,5	1172,5
170-175 175-180	16 10	172,5 177,5	2760 1775
180-185	9	182,5	1642,5
185-190	3	187,5	562,5
190 и >	2	192,5	385
Итого:	50	х	8785

Вопрос: Найти средний рост студентов.

Решение:

Находим взвешенную среднюю арифметическую

Основные математические свойства средней арифметической.

1. Если все значения признака средней увеличить (уменьшить) на одно и то же число, то средняя также увеличится (уменьшится) на то же число.

2. Если все значения признака средней увеличить( уменьшить) в одно и то же количество раз, то средняя увеличится (уменьшиться) в это же количество раз.

3. Если все частоты умножить ( разделить ) на одно и то же число, то средняя от этого не изменится.

4. Сумма положительных и отрицательных отклонений индивидуальных знаний признака от средней равна нулю.

Способ «условного нуля» (упрощенный способ расчета взвешенной средней арифметической)

,где ί- величина интервала; в качестве А удобно брать значение признака, находящееся в середине вариационного ряда.

Пример 4.

Рост студентов, см,x	Число студентов, f	Середина интервала	x-A		(x-A)
До 165 165-170	3 7	162,5 167,5	-15 -10	-3 -2	-9 -14
170-175	16	172,5	-5	1	-16
175-180	10	177.5	0	0	0
180-185	9	182.5	5	1	9
185-190	3	187,5	10	2	6
190 и >	2	192,5	15	3	6
Итого :	50	1242,5	0	0	-18

Решаем способом «условного нуля»

A=177,5; ί = 5

Средняя гармоническая

В статистике прямыми значениями признака являются такие ??? значения, которые увеличиваются при увеличении определяющего показателя характеризуемых явлений и уменьшаются при уменьшении.

Обратными значениями являются такие значения, которые при увеличении определяющего показателя уменьшаются, а при уменьшении – увеличиваются.

X – прямая величина.

1/X – обратная величина.

Порой при исчислении средних величин пользуются не значения отдельных вариантов, а их обратными величинами. Форма средней используемая при этом, носит название средней гармонической. Обозначение ????

Средняя гармоническая представляет собой величину, обратную средней арифметической из обратных значений признака.

Средняя гармоническая, как и любая другая средняя, может быть кросс???? и взвешенной.

1. Простая средняя гармоническая выражается формулой:

2. Взвешенная средняя гармоническая имеет вид:

- веса вариантов

Пример 5.

Распределение рабочих по затратам времени на 1 деталь.

Затраты времени на 1 деталь ,ч.; x	Число рабочих;f
0,2	1
0,3	6
0,5	9
1	2
Итого:	18

Вопрос: определить среднее время, затрачиваемое одним рабочим на изготовление деталей, при условии ,что рабочие работали ровно ???

Решение:

Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо располагать данными об общих затратах ??? всех 18 рабочих и о количестве выработанных за это время деталей.

1)Общее число рабочих(18) означает общие затраты времени: 18 чел???

2)Очевидно, что рабочий который на 1 деталь тратит y часов, за час сделает 1/y деталей. Учитывая это, находим общие количество выработанных деталей: 1/0,2*1+1/0,3*6+1/0,5*9+1/1*2

Следовательно, средние затраты времени на одну деталь рассчитываем по средней гармонической взвешенной:

В данном примере

x(- трудоемкость) = ;

Обозначим через w – объем явления; w=x*f Рассмотрим, как применяется объем явления на практике.

Пример 6:

Имеются данные о распределении предприятий по цене на 1 ед. продукции.

№ предприятия	Цена 1 единицы продукции тыс.руб. x	Общая денежная выручка, млн.руб. w
1	20	240
2	21	315
3	22	220
Итого:	X	775

Вопрос: найти среднюю цену единицы продукции.

Решение:

В этом случае расчет записывается в форме средней гармонической взвешенной:

В целом ряде случаев применение средней арифметической или средней гармонической определяется наличием исходных данных:

1. Если известны x и f, то:

2. Если известны x и w, то:

3. Если известны w и f, то:

Средняя прогрессивная.

Средняя прогрессивная также может быть простой и взвешенной. Остановимся подробнее на последней.

Методология расчета средней прогрессивной взвешенной зависит от того являются ли лучшими наиболее высокие показатели (1) или наиболее низкие (2). В обоих случаях сначала исчисляется общая средняя, а затем:

1. Случай . определяется средняя из индивидуальных показателей, превышающих средний уровень .

2. Случай. Определяется средняя из индивидуальных показателей, которые ниже среднего уровня.

Пример 7.

Распределение с/х предприятий по расходу топлива.

№ группы	Расход топлива на 1 га/кг; x	Число с/х предприятий	Выполнено работ, га; f	Израсходовано топлива ;кг; xf
1	8,0	2	18	144
2	8,5	4	30	255
3	9,1	5	60	546
4	10,0	6	80	800
5	10,5	4	60	630
6	11,0	3	45	495
7	11,1	2	30	333
	Итого	X	323	3203

Вопрос: найти среднюю прогрессивную взвешенную.

Решение:

1)

2) используем второй случай:

Смысл? Та ,на которую не давало бы ориентироваться.

Структурные средние.

Их также называют порядковыми статистиками. Порядковые статистики – это варианты, занимающие определенное порядковое место в ранжированном ряду. К ним относятся: мода, медиана, квартиль, дециль.

1. Мода

Модой ( ) называется наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности.

Во многих случаях при характеристике совокупности в качестве обобщенного показателя отдается предпочтение моде, а не средней арифметической. Так, при изучении цен на рынках фиксируется изучается в динамике не средняя цена на определенную продукцию, а модальная; при изучении спроса населения на определенный размер одежды представляет интерес определение модального номера, а средний размер как таковой здесь вообще не имеет значения.

Мода представляет не только самостоятельный интерес, но и выполняет роль вспомогательного показателя при средней, характеризуя ее типичность. Если средняя арифметическая близка по значению к моде, то средняя типична для совокупности.

Рассмотрим, как определяется мода:

1. В дискретном ряду.

Здесь мода- это вариант, имеющий наибольшую частоту.

Пример 8.

Распределение мужчин по размеру обуви.

Размер обуви; x	Число мужчин, % к итогу; f
37 и меньше	1
38	5
39	12
40	23
41	28
42	21
43	18
44 и >	2
Итого:	100%

-мода, =41

2. В интервальном ряду.

В интервальных вариационных рядах прежде всего определяется интервал, в котором содержится мода, т.е модальный интервал. В вариационном ряду с равными интервалами модальный интервал определяется по наибольшей частоте, в рядах с неравными интервалами по наибольшей плотности распределения.

Для определения моды в рядах с равными интервалами пользуются формулой следующего вида:

Где

ί- величина интервала;

- частоты, соответственно: предмодального, модального и послемодального интервалов.

Если , то

Если , то

Если , то

Пример 9.

Распределение студентов по росту.

Рост студентов, см ; x	Число студентов; f	Накопленные част.
160-165	3	3
165-170	7	10
170-175	16	26
175-180	10	36
180-185	9	45
185-190	3	48
190-195	2	50

Ранее в примере 3 мы рассчитали . Т.е. средняя достаточно типична для совокупности.