Министерство образования Российской Федерации
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Физико-технический факультет
С.Л. Миньков, л.Л. Миньков
ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Учебное пособие
2002
Миньков С.Л., Миньков Л.Л.
Основы численных методов: Учебное пособие. – Томск: Издательство ТГУ, 2002. – с.
Миньков С.Л., Миньков Л.Л. 2002
СОДЕРЖАНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………… |
6 |
1 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОГРЕШНОСТИ………... |
10 |
1.1 Источники и классификация погрешностей………………. |
10 |
1.2 Абсолютная и относительная погрешности………………. |
11 |
1.3 Погрешность результатов арифметических операций и элементарных функций………………………………………… |
13 |
1.4 Обратная задача теории погрешности…………………….. |
15 |
2 АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ……………………………… |
17 |
2.1 Понятие аппроксимации……………………………………. |
17 |
2.2 Вычисление значения полиномов по схеме Горнера…….. |
18 |
2.3 Аппроксимация некоторых трансцендентных функций с помощью рядов…………………………………………………. |
19 |
2.4 Экономизация степенных рядов при помощи полиномов Чебышева……………………………………………….……….. |
24 |
2.5 Дробно-рациональные приближения……………………… |
27 |
2.6 Постановка задачи интерполирования…………………….. |
28 |
2.7 Интерполяционный полином Лагранжа………………...… |
30 |
2.8 Интерполяционный полином Ньютона……………………. |
34 |
2.9 Интерполирование функций многих переменных………... |
38 |
2.10 Нелинейная интерполяция………………………………... |
40 |
2.11 Обратное интерполирование……………………………… |
42 |
2.12 Интерполирование сплайнами……………………………. |
42 |
2.13 Аппроксимация по методу наименьших квадратов…….. |
46 |
2.13.1 Квадратичное аппроксимирование обобщенными полиномами………...……………………………………...… |
48 |
2.13.2 Метод наименьших квадратов в нелинейном случае……………………………………………………….... |
52 |
3 ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ…………………………………………. |
57 |
3.1 Получение формул численного дифференцирования путем аппроксимации……………………………………….….. |
57 |
3.1.1 Получение формул численного дифференцирования с помощью рядов Тейлора…………………….…………..... |
57 |
3.1.2 Получение формул численного дифференцирования с помощью интерполяционного полинома Лагранжа…….. |
58 |
3.1.3 Получение формул численного дифференцирования с помощью интерполяционного полинома Ньютона……... |
60 |
3.2 Метод неопределенных коэффициентов получения формул численного дифференцирования …………………….. |
62 |
3.3 Метод Рунге оценки погрешности и получения формул численного дифференцирования ………………..…………….. |
64 |
3.4 О некорректности операции численного дифференцирования…………………………………………….. |
65 |
3.5 Численное интегрирование: понятие квадратурных формул…………………………………………………………… |
67 |
3.5.1 Формула прямоугольников………………………….... |
68 |
3.5.2 Формула трапеций……………………..……………… |
70 |
3.5.3 Формула Симпсона……………………………………. |
72 |
3.6 Оценка погрешности методом Рунге. Автоматический выбор шага интегрирования………………………………….… |
74 |
3.7 Метод неопределенных коэффициентов получения квадратурных формул………………..…..……………………... |
76 |
3.8 Квадратурные формулы Ньютона-Котеса………………… |
80 |
3.9 Квадратурные формулы Гаусса……………………………. |
82 |
3.10 Некоторые частные случаи квадратурных формул Гаусса……………………………………………………………. |
86 |
3.10.1 Формула Гаусса-Чебышева………………..………... |
86 |
3.10.2 Формула Гаусса-Лежандра…………………..……… |
87 |
3.10.3 Формула Гаусса-Лагерра……………………..……... |
88 |
3.10.4 Формула Гаусса-Эрмита……………………..……… |
89 |
3.11 Приближенное вычисление несобственных интегралов... |
90 |
3.11.1 Вычисление интегралов с бесконечными пределами интегрирования…...….…………………………. |
90 |
3.11.2 Вычисление интегралов от неограниченных функций……………………………………………………… |
91 |
3.12 Приближенное вычисление кратных интегралов. Метод Монте-Карло…………………………………………….. |
92 |
4 РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ……………………………………………………… |
97 |
4.1 Общие сведения…………………………………………….. |
97 |
4.2 Метод Гаусса………………………………………………... |
98 |
4.3 Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители. Схема Халецкого..………………………………... |
101 |
4.4 Вычисление определителя и обратной матрицы………….. |
103 |
4.5 Метод прогонки……………………………………………... |
104 |
4.6 Плохо обусловленные системы. Мера обусловленности… |
107 |
4.7 Итерационные методы решения СЛАУ…………………… |
110 |
4.7.1 Метод простых итераций……………………………... |
110 |
4.7.2 Метод Зейделя……………………………………….... |
113 |
4.7.3 Метод релаксаций…………………………………….. |
116 |
4.8 Нахождение собственных значений……………………….. |
118 |
4.8.1 Метод Леверрье……………………………………….. |
119 |
4.8.2 Метод неопределенных коэффициентов построения характеристического полинома……………………………. |
120 |
4.8.3 Итерационный способ одновременного нахождения собственных значений и собственных векторов…….……. |
122 |
5 РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ…….. |
125 |
5.1 Уравнение с одним неизвестным………………………….. |
125 |
5.1.1 Метод половинного деления…………………………. |
126 |
5.1.2 Метод хорд………………………………………….… |
127 |
5.1.3 Метод простых итераций…………………………….. |
127 |
5.1.4 Модифицированный метод простых итераций……... |
131 |
5.1.5 Метод Ньютона……………………………………….. |
132 |
5.1.6 Метод секущих………………………………………... |
134 |
5.1.7 Метод Чебышева построения итераций высших порядков……………………………………………………... |
135 |
5.1.8 Нахождение корней полиномов……………………… |
136 |
5.2 Системы нелинейных уравнений…………………………... |
138 |
5.2.1 Метод простых итераций……………………………... |
138 |
5.2.2 Метод Ньютона……………………………..…………. |
140 |
5.2.3 Методы спуска………..……………………………….. |
142 |
6 РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ………………………………………………………. |
149 |
6.1 Общие сведения……………………………………………... |
149 |
6.2 Разностная схема Эйлера…………………………………… |
152 |
6.3 Методы Рунге-Кутта………………………………………... |
154 |
6.4 Многошаговые методы Адамса……………………………. |
162 |
6.5 Неявные разностные формулы…………………………….. |
165 |
6.6 Жесткие задачи……………………………………………… |
170 |
6.7 Краевые задачи……………………………………………… |
171 |
6.7.1 Конечно-разностные методы…………………………. |
172 |
6.7.2 Метод стрельбы………..……………………………… |
174 |
6.7.3 Сведение линейной краевой задачи к двум задачам Коши…………………………………………………………. |
176 |
6.7.4 Метод Ньютона для нелинейной краевой задачи….... |
177 |
ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………... |
179 |