Основания «теории множеств»
Теория множеств представляет собой раздел математики, основанный на анализе категории количество.
Категория количество является одной из десяти аристотелевских категорий и характеризует идею множества сущностей. Истоки этой идеи лежат в философии Платона, который утверждал то, что множество всех вещей или предметов в качестве начала имеет нечто единое или единичное, «эйдос» (идею). В античной философии в частности, у Аристотеля, развивается теория идей в логическом русле. Теория идей получила бурное развитие в Средние века, появились даже направления – реализм, номинализм и концептуализм, различающиеся трактовкой или пониманием отношения идей и вещей.
Развитие теории идей привело к тому, что в начале XX века математик Георг Кантор предлагает в качестве единственной и универсальной идеи собственно идею «множества». Это в частности, значит, что множество становится универсальным предикатом или высшей сущностью. Однако, в начале XX века английский философ Б. Рассел находит в теории Кантора парадокс. Г. Фреге, являясь преемником идеи множества Кантора, применял ее к логическому исчислению предикатов.
Операции с множествами
Множество – совокупность различных по определению объектов, которые мыслятся как единое целое. В теории множеств существует собственный язык. Множество обозначается A, B, C … P, Q, R буквами латинского алфавита. Объекты, образующие множества, называются элементами множества, обозначаются а, b, с …
Говорят, что объект, являющийся некоторым множеством, принадлежит ему (а М).
Всякое множество рассматривается лишь применительно к какой-то конкретной познавательной ситуации, поэтому, как правило, имеют дело с каким-то фиксированным множеством, обозначающимся:
U
- универсальный класс
Множества, как правило, конечны, т.е. содержат ограниченное число элементов. Количество элементов называется мощностью множества.
Операции
Равенство множеств – множества считаются равными в том случае, если состоят из одних и тех же элементов
{a, b, c} = {a, c, b} A = B
Поскольку, множество фиксировано, последовательность элементов не имеет значения.
Сложение множеств (объединение) А и В называется такое множество, которое принадлежит обоим множествам одновременно, или по-другому, сложением множеств А и В называется множество элементов х таким, что х принадлежит хотя бы одному из двух множеств А и В:
U
А
В = {х/х
А или В}
А = {1,2,3} В = {4,5,6}
А В = {1,2,3,4,5,6}
Умножением (пересечением) называется такое множество элементов х, которое принадлежит и множеству А, и множеству В.
U
А
В = {х/х
А и В}
А = {1,2,3} В = {2,3,4}
А В = {2,3}
Разностью множеств А и В называется такое множество А, которое не принадлежит множеству В
U
А/В
= {х/х
А и х В}
А = {1,2,3} В = {2,3,4}
А/В = {1} В/А = {4}
Симметричная разность – сумма разностей двух множеств:
U
А В = {1}
{4} 
Отрицание абсолютное дополнение множества А – множество всех элементов, непринадлежащих А
U
А = U/А 
Отрицание может быть рассмотрено как разность
универсального класса к А.