Тема 3: Гильбертовы пространства

V3

Параллелограмм теңдігі орындалатын кеңістіктер

1

L_p [a; b] , p=2

1

, p=2

1

Eⁿ

0

C[a; b]

0

C ^k[a; b]

0

m

0

c

0

L_p [a; b] , p≠2

V3

Нөлдік емес векторлардың ортонормаланған жүйесі туралы ақиқат сөйлемдер:

1

Ол сызықты тәуелсіз жүйе болады

1

Жүйедегі әр вектордың нормасы 1-ге тең

1

Жүйедегі векторлар екеуара ортогональ

0

Ол сызықты тәуелді жүйе болады

0

Ол толық жүйе болады

0

Ол тұйық жүйе болады

0

Ол жүйеде өзара ортогональ емес векторлар табылады

0

Ол жүйеде нормасы 1-ден үлкен элемент болуы мүмкін

V3

Нормасы скаляр көбейтінді арқылы берілмейтін кеңістіктер:

1

C[a; b]

1

L1[a; b]

1

_{с –жинақты тізбектер кеңістігі}

0

L_p [a; b] , p=2

0

l_p , p=2

0

Eⁿ

0

H – гильбертово пространство

0

H₂ [a;b] –Соболев кеңістігі

V3

Кез келген тұйық және шектелген жиын компакт болатын кеңістіктер:

1

Eⁿ ақырлы өлшемді евклид кеңістігі

1

Дәрежесі n-нен аспайтын барлық x(t ) көпмүшелер жиыны нормасымен

1

Ақырлы өлшемді сызықты нормаланған кеңістік

0

_{с –жинақты тізбектер кеңістігі}

0

_l2

0

C[a,b]

0

_L2[a,b]

0

_{m шенлген тізбектер кеңістігі}

V3

Тұйық бірлік шар компакт жиын болатын кеңістіктер:

1

Rⁿ кеңістігі ||x||=max |x__k| нормасымен

1

1

_{Кез келген ақырлы өлшемді сызықты нормалы кеңістік}

0

C[a,b]

0

_{m шенелген тізбектер кеңістігі}

0

_{с0 – нөлге жинақталатын тізбектер кеңістігі}

0

_{с –жинақты тізбектер кеңістігі}

0

_l2

V3

Ашық бірлік шар шала компакт (аз компакт) жиын болатын кеңістіктер:

1

_{Кез келген ақырлы өлшемді сызықты нормаланған кеңістік}

1

1

_{Дәрежесі n-нен аспайтын көпмүшеліктер кеңістігі (кез келген нормамен)}

0

C[a,b]

0

_{m шенлген тізбектер кеңістігі}

0

_{с0 – нөлге жинақталатын тізбектер кеңістігі}

0

_{с –жинақты тізбектер кеңістігі}

0

_l2

V3

М жиыны C[a,b] кеңістігінде шала (аз) компакт жиын болса, онда:

1

ол бірқалыпты шенелген функциялардан тұрады

1

ол тең дәрежелі үзіліссіз функциялардан тұрады

1

ол бірқалыпты шенелген және тең дәрежелі үзіліссіз функциялардан тұрады

0

ол ақырлы жиын

0

ол шенелмеген жиын

0

ол тұйық жиын

0

ол шенелмеген, бірақ тұйық жиын

0

ол шенелмеген, бірақ ашық жиын

V3

C[0; 1]-де компакт жиындар:

1

{ x( t) = a t + b | 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 1},

1

{ x( t) = a t ² | 0 ≤ a ≤ 3},

1

{ x( t) = a t ² + bt + c | 0 ≤ a ≤ 1, 0 ≤ b ≤ 3, 0 ≤ c ≤2},

0

- бірлік тұйық шар

0

{ x(t) | || x(t) || ≤ 1 }

0

{ x( t) = k t + b | k, b R¹},

0

{ x( t) = k t ² | k R¹},

0

{ x( t) = a t ² + bt + c | a, b, c R¹},

V3

Егер Х сызықты нормаланған кеңістігі ақырлы n өлшемді кеңістік болса, онда

1

Оның әрбір шенелген тұйық M X жиыншасы компакт болады

1

Ондағы бірлік тұйық шар компакт болады

1

Оның әрбір компакт жиыны тұйық та болады

0

Оның әрбір компакт жиыны ашық та болады

0

Оның компакт жиыншасының бүркемесінен ақырлы бүркеме бөліп алуға болмауы қалуы мүмкін.

0

Ондағы бірлік тұйық шар компакт болмайды

0

Ондағы әрбір тұйық жиын компакт болады

0

Ондағы әрбір шенелген жиын компакт болады

V3

Егер Е жиыны Х метрикалық кеңістікте компакт болса, онда

1

Е аз (шала) компакт

1

Е тұйық жиын

1

Е шенелген жиын

0

СЕ – толықтауышы да компакт

0

Е – ақырлы жиын

0

Әрбәр { x_n } E тізбегі жинақты

0

X\E компакт

0

Әрбір { x_n } E жинақталатын тізбектің шегі Е-де жатуы да, жатпауы да мүмкін

V3

Егер M C[a; b] жиыны аз (шала) компакт болса, онда

1

М бірқалыпты шенелген функциялар жиыны

1

М бірсарынды (тең дәрежелі) үзіліссіз функциялар жиыны

1

Әрбір { x_n } М тізбегінің фундаменталь (іргелі) тізбекшесі бар болады

0

М- компакт жиын

0

М - тұйық

0

М - ақырлы

0

М- саналымды

0

М – қуаты континуум жиын