Тема 1 : Метрические и топологические пространства

V3

Нақты сандар жиынында метрика болатын өрнектер:

1

| x- y |

1

| x³ – y³ |

1

| arctg x – arctg y|

0

( x² + 3y² ) | x – y|

0

| x² – y² |

0

| sin ( x-y)|

0

x³ – y³

0

| tg (x-y)|

V3

Е жиынының тұйықтамы:

1

Е жиынымен оның барлық шектік нүктелерінің жиынын біріктіруден пайда болады

1

Е-ні қамтитын барлық тұйық жиындардың қиылысуына тең

1

Е-ні қамтитын ең кіші тұйық жиын

0

әрқашан Е-нің іш жиыны болады

0

әрқашан бос жиын болады

0

Е-ні қамтитын барлық ашық жиындардың бірігуіне тең

0

Е-нің ішкі нүктелерін алып тастаудан пайда болатын жиын

0

Е-ні қамтитын ең үлкен ашық жиын

V3

Егер Е жиыны Х кеңістігінде барлық жерде тығыз болса, онда

1

=Х

1

Х-тің әрбір нүктесі не Е-нің шектік нүктесі болады, не Е-де жатады немесе осы екі шартты бірдей қанағаттандырады

1

Е -нің тұйықтамы Х-ті қамтиды

0

Е шенелген

0

Е шенелмеген

0

Е тұйық жиын

0

Е ашық жиын

0

Е ақырлы жиын

V3

Егер А жиыны Х кеңістігінде еш жерде тығыз емес болса, онда

1

Бұл кеңістіктің кез келген ашық жиынының ішінен А-ның бірде-бір нүктесін қамтымайтын екінші бір ашық ішкі жиын табылады

1

А-ның тұйықтамының бірде-бір ішкі нүктесі болмайды

1

А жиыны бұл кеңістіктің ешқандай шарында тығыз болмайды.

0

А жиыны барлық тұйық жиындардың қиылысуына тең

0

А жиыны өзін қамтитын барлық тұйық жиындардың қиылысуына тең

0

А жиыны өзін қамтитын барлық ашық жиындардың бірігуіне тең

0

А жиыны ең үлкен ашық жиын

0

А жиыны өзінің барлық шектік нүктелерін қамтиды

V3

R² екі өлшемді координаттық жазықтықта еш жерде тығыз емес жиындар:

1

түзу

1

Кесінді

1

шеңбер

0

екі координатасы да рационал болатын барлық нүктелер жиыны

0

екі координатасы да иррационал болатын барлық нүктелер жиыны

0

бір координатасы рационал болатын барлық нүктелер жиыны

0

екі координатасы да нақты сан болатын барлық нүктелер жиыны

0

Бір координатасы рационал, екінші координатасы иррационал болатын барлық нүктелер жиыны

V3

R² екі өлшемді координаттық жазықтықта барлық жерде тығыз болатын жиындар:

1

екі координатасы да рационал болатын барлық нүктелер жиыны

1

екі координатасы да иррационал болатын барлық нүктелер жиыны

1

бір координатасы рационал болатын барлық нүктелер жиыны

0

екі координатасы да бүтін болатын барлық нүктелер жиыны

0

бір координатасы бүтін болатын барлық нүктелер жиыны

0

x² + y² = 1 шеңберінің нүктелері

0

x² + y² ≤ 1 дөңгелегінің нүктелер жиыны

0

x² + y² < 1 дөңгелегінің нүктелер жиыны

V3

Сан түзуінің бойында еш жерде тығыз емес жиындар:

1

Кантордың тұйық жиыны

1

Натурал сандар жиыны

1

{ ½, ¼, 1/8, 1/16, …}

0

Рационал сандар жиыны

0

Иррационал сандар жиыны

0

[0; 4]

0

Барлық нақты сандар жиыны

0

[0; 4] сегментінің рационал сандарының жиыны