Тема 8: Элементы спектральной теории

V3

A : C[ -π; π ] → C[-π; π] , Ax( t ) = x(-t ) операторының λ =-1 меншікті мәніне сәйкес меншікті векторлары

1

Sin t

1

t

1

t³

0

Cos t

0

t²

0

Exp(t)

0

Ln ( t )

0

t⁴

V3

A : C[ -π; π ] → C[-π; π] , Ax( t ) = x(-t ) операторының λ =1 меншікті мәніне сәйкес меншікті векторлары

1

Cos t

1

t²

1

t⁴

0

Sin t

0

t

0

t³

0

Exp(t)

0

Ln ( t )

V3

A : X → X сызықты оператор және A^-1 болса, онда A және A^-1 операторлары

1

Бірдей меншікті векторларға ие

1

Екеуі де бірдей тұйық немесе жоқ

1

Екеуі де шенелген , егер Х – банах кеңістігі және R(A) = X болса

0

Екеуі де жете шенелген және ақырсыз өлшемді болады

0

Өзіне өзі түйіндес

0

үзіліссіз

0

шенелмеген

0

үзілісті

V3

( f, φ ) – жалпыланған функция болса, онда

1

ол негізгі функциялар кеңістігінде берілген сызықты функционал

1

(f, αφ₁ + βφ₂ ) = (f, αφ₁ ) +(f, βφ₂ ), α, β R¹ , φ₁ , φ₂ K болады, мұндағы К негізгі функциялар кеңістігі

1

φ_n →φ болуынан (f, φ_n ) (f, φ ) ( n → ₎ болуы шығады

0

ол сызықты емес функционал

0

шенелмеген функционал

0

бір ғана нүктеде үзіліссіз функционал

0

финитті функция

0

монотонды функция

V3

Регуляр жалпыланған функция

1

анықтама бойынша ( f, φ ) = формуласымен берілетін функционал, мұндағы  -финитті функция

1

мысалы ретінде f(x) = Хевисайд функциясы болады

1

мысалы ретінде f(x) = функциясы болады

0

мысалы ретінде Дирактың - функциясы болады

0

мысалы ретінде Дирактың ығысқан - функциясы (δ_a , φ) = φ( a ) болады

0

мысалы ретінде (δ , φ) = φ( 0 ) функциясы болады

0

мысалы ретінде α(x)δ(x) функциясы болады

0

мысалы ретінде (δ , φ) = φ( 1 ) функциясы болады

V3

Жалпыланған сингуляр функция

1

мысалы ретінде Дирактың - функциясы (δ , φ) = φ( 0 ) болады

1

мысалы ретінде Дирактың ығысқан - функциясы (δ_a , φ) = φ( a ) болады

1

дегеніміз

( f, φ ) = түрінде беріле алмайтын жалпыланған функция

0

мысалы ретінде Хевисайд Функциясы

0

мысалы ретінде f(x) =

0

мысалы ретінде f(x) =

0

мысалы ретінде α(x)θ(x)

0

мысалы ретінде θ(x) =

V3

Жалпыланған функциялар үшін анықталған амалдар:

1

туынды негізгі функциялардың K кеңістігінде ( f’ , φ ) = - ( f, φ’ ) теңдігі арқылы анықталады

1

Жоғарғы ретті туынды негізгі функциялардың K кеңістігінде ( f ^(m) , φ ) = (-1)^m ( f, φ^(m) ) теңдігі арқылы анықталады

1

ақырсыз дифференциалданатын финитті α (x) функциясына көбейту амалы негізгі функциялардың K кеңістігінде (α f, φ ) =( f, αφ ) теңдігі арқылы анықталады

0

туынды амалы анықталу жиынында нүктелі анықталады

0

көбейту амалы анықталу жиынында нүктелі анықталады

0

қосу амалы анықталу жиынында нүктелі анықталады

0

бөлу амалы анықталу жиынында нүктелі анықталады

0

екінші туынды амалы біріші туындының анықталу жиынында нүктелі туындысы ретінде анықталады