Тема 4 : Компактность

V3

Егер X - компакт метрикалық кеңістік болса, онда

1

Ол толық және әрбір ε > 0 үшін X –те ақырлы ε-то бар

1

X –тегі нүктелерінің кез келген тізбегінен жинақталатын тізбекшесі бар

1

X –тегі кез келген ақырсыз жиынның кемінде бір шектік нүктесі бар

0

Ол толық емес

0

X –тегі кез келген ақырсыз жиынның шектік нүктесі жоқ

0

Қанда да бір ε > 0 үшін Х –тің сәйкес ε-торы табылмай қалуы мүмкін

0

Ол Гильберт кеңістігі

0

Ол Евклид кеңістігі

V3

L(X, Y)= {A : X → Y | A – линейный непрерывный оператор , D(A)=X } совокупность всех линейных непрерывных операторов из Х в Y ( Х , Y – линейные нормированные пространства) -

1

Линейное

1

Нормированное пространство

1

банахово пространство, если Y – банахово

0

Не полное

0

рефлексивное

0

сепарабельное

0

Не линейное

0

гильбертово

V3

A : X → Y тұйық сызықты оператор болса, онда

1

x_n D(A ) , x_n → x және Ax_n → y болатындығынан , x D(A ) және y = Ax болатындығы шығады

1

оның {(x, Ax) | xD(A)} –графигі X× Y-те тұйық болады.

1

егер A^-1 бар болса, ол да тұйық болады

0

Ол түйіндес оператор

0

Ол шенелмеген оператор

0

егер A^-1 бар болса, ол тұйық емес болады

0

Жете шенелген

0

оның {(x, Ax) | xD(A)} –графигі X× Y-те ашық болады.

V3

A : C[0;1]  C[0; 1] болатын сызықты операторлар:

1

Ax(t) = 3x(t)

1

Ax(t) = dx/dt

1

Ax(t) =

0

Ax(t) = x²(t)

0

Ax(t) = x³(t)

0

Ax(t) = exp(x (t))

0

Ax(t) = ln x(t)

0

Ax(t) = sin x(t)

V3

A : L1[-1;1]  L1[-1; 1] болатын сызықты операторлар

1

Ax(t) = 5x(t)

1

Ax(t) = dx/dt (жалпыланған туынды)

1

Ax(t) =

0

Ax(t) = x²(t)

0

Ax(t) = x³(t)

0

Ax(t) = exp(x (t))

0

Ax(t) = ln x(t)

0

Ax(t) = sin x(t)

V3

A : C[-2; 1]  C[0;1] , Ax(t) = (t +1)x(1) операторының нормасы жататын аралықтар:

1

[0; 2]

1

[1; 3]

1

[0; 4]

0

[-2; 0]

0

[-1; 1]

0

[3; 5]

0

[6; 8]

0

[-5; -3]

V3

A : L2[0;3]  L2[0; 3], Ax(t)=(t+2)x(t)

операторының нормасы жататын аралықтар:

1

[0; 5]

1

[0; 7]

1

[2; 6]

0

[10; 15]

0

[7; 9]

0

[12; 13]

0

[-1; 1]

0

[-9; -3]

V3

А : L2[0;4]  L2[0;4] , Ax(t)=x(t) операторының нормасы жататын аралықтар:

1

[0;1]

1

[0; 2]

1

[1; 2]

0

[-1;0]

0

[-5; -2]

0

[10; 15]

0

[5; 10]

0

[3; 10]

V1

А: C[0;1] L₂ [0;1]

операторы

Ax(t)=0,3x(t)

теңдігімен берілген болса, онда

1

оның кері операторы бар

1

оның ядросы нөлдік элементтен ғана тұрады

1

оның нормасы 0,3-ке тең

0

оның нормасы 3-ке тең

0

оның нормасы 7-ге тең

0

ол шенелмеген

0

ол үзілісті оператор

0

ол сызықты оператор емес

V1

C[0;2] кеңістігінде функционал

f (x) =2x(0) теңдігімен берілген болса, онда

1

оның нормасы 2-ге тең.

1

ол шенелген функционал

1

ол x(t) =cos(t) элементіне 2 мәнін сәйкес қояды

0

оның нормасы 1-ге тең

0

оның нормасы 3-ке тең

0

ол үзілісті болады

0

ол теріс мән қабылдай алмайды

0

ол сызықты функционал емес

V1

C[0;1] кеңістігінде функционал

f (x) =x(0) - x(1) теңдігімен берілген болса, онда

1

оның нормасы 2-ге тең.

1

ол шенелген функционал

1

ол x(t) =cos(t) элементіне 1 - cos(1) мәнін сәйкес қояды

0

оның нормасы 5-ке тең

0

оның нормасы 3-ке тең

0

ол үзілісті болады

0

ол теріс мән қабылдай алмайды

0

ол сызықты функционал емес

V1

C[0;2] кеңістігінде функционал

теңдігімен берілген болса, онда

1

оның нормасы 2-ге тең.

1

ол шенелген функционал

1

ол x(t) =cos(t) элементіне sin (2) мәнін сәйкес қояды

0

оның нормасы 3-ке тең

0

оның нормасы 3-ке тең

0

ол үзілісті болады

0

ол теріс мән қабылдай алмайды

0

Ол сызықты функционал емес

V1

C[0;1] кеңістігінде функционал

теңдігімен берілген болса, онда

1

оның нормасы 2-ге тең.

1

ол шенелген функционал

1

ол x(t) =t элементіне 1,25 мәнін сәйкес қояды

0

оның нормасы 4-ке тең

0

оның нормасы 3-ке тең

0

ол үзілісті болады

0

ол теріс мән қабылдай алмайды

0

ол сызықты функционал емес

V3

C[0;2] кеңістікте анықталған f(x)= функционалының нормасы жататын аралықтар:

1

[0; 2]

1

[1; 3]

1

[0; 4]

0

[-2; 0]

0

[-1; 1]

0

[3; 5]

0

[6; 8]

0

[-5; -3]

V3

C[0;2] кеңістікте анықталған f(x)= x(0) функционалының нормасы жататын аралықтар:

1

[0;1]

1

[0; 2]

1

[1; 2]

0

[-1;0]

0

[-5; -2]

0

[10; 15]

0

[5; 10]

0

[3; 10]

V3

C[0;2] кеңістікте анықталған f(x)= 5x(1) функционалының нормасы жататын аралықтар:

1

[0;5]

1

[3; 10]

1

[5; 9]

0

[-1;0]

0

[-5; -2]

0

[10; 15]

0

[25; 27]

0

[-3; 1]

V3

C[0;3] кеңістікте анықталған f(x)= функционалының нормасы жататын аралықтар:

1

[0; 8]

1

[7; 9]

1

[6; 10]

0

[10; 15]

0

[27; 30]

0

[12; 13]

0

[-1; 1]

0

[-9; -3]

V3

L2[0;4] кеңістікте анықталған f(x)= функционалының нормасы жататын аралықтар:

1

[0; 7]

1

[3; 9]

1

[5; 10]

0

[10; 15]

0

[8; 9]

0

[12; 13]

0

[-1; 1]

0

[-9; -3]