Тема 5: Линейные операторы и функционалы

V3

Егер A : X à Y сызықты оператор болса, онда

1

D(A) – сызықты көпбейне

1

A(x + y) = Ax + Ay, x, y X

1

A(λx )= λ Ax , x X , λ R¹

0

A(-x) = Ax, x X

0

A(x + y) > Ax + Ay , x, y X

0

A(x + y) < Ax + Ay, x, y X

0

A(λx )= - λ Ax

0

A0 < 0

V3

Егер A : X à Y шенелген сызықты оператор және D(A)=X болса, онда

1

А-ның ядросы тұйық жиын

1

A(x + y) = Ax + Ay, x, y X

1

А операторы тұйық оператор

0

A(-x) = Ax, x X

0

A(x + y) > Ax + Ay , x, y X

0

A(x + y) < Ax + Ay, x, y X

0

A(λx )= - λ Ax

0

A(λx )= Ax , x X , λ R¹

V3

Егер A : X à Y сызықты оператор болса, онда

1

R(A) – мәндер жиыны Y-те сызықты көпбейне болады

1

егер қайсыбір x, y D(A) үшін Ax =0 және Ay=0 болса, онда A(x + y) = 0,

0

A(x+y )= Ax , x,y X

0

A(-x) = Ax, x X

1

егер қайсыбір x, y D(A) үшін Ax = Ay болса, ондаA(x - y) = 0,

0

A(x + y) < Ax + Ay, x, y X

0

A(λx )= - λ Ax, x X λ R¹

0

A0 < 0

V3

Егер A : X à Y сызықты оператор болса, онда

1

R(A) – мәндер жиыны Y-те сызықты көпбейне болады

1

егер қайсыбір x, y D(A) үшін Ax =0 және Ay=0 болса, онда A(x + y) = 0,

0

A(x+y )= Ax , x,y X

0

A(-x) = Ax, x X

1

егер қайсыбір x, y D(A) үшін Ax = Ay болса, ондаA(x - y) = 0,

0

A(x + y) < Ax + Ay, x, y X

0

A(λx )= - λ Ax, , λ R¹

0

A0 < 0

V3

Егер A : X à Y сызықты оператор болса, онда

1

Ker(A) –ядросы Х-те сызықты көпбейне болады

1

A(0) = 0, мұндағы сол жақ нөлдік Х-тікі, оң жақ нөлдік Y-тікі

0

A(x+y )= Ax , x,y X

0

A(-x) = Ax, x X

1

егер қайсыбір x, y D(A) элементтері мен ,  сандары үшін Ax = Ay болса, ондаA(x - y) = 0,

0

A(x + y) < Ax + Ay, x, y X

0

A(λx )= - λ Ax, , λ R¹

0

A0 < 0

V3

Сызықты оператордың || A || нормасы есептелетін формулалар:

1

1

1

(евклид не унитар кеңістікте)

0

0

0

0

max || x ||

0

|| Ax|| + || x ||

V3

Операторлардың L(X, Y) сызықты кеңістігіндегі || A || нормасы:

1

1

1

0

0

0

0

max || x ||

0

|| Ax|| + || x ||

V3

Егер f - сызықты Х кеңістігінде анықталған сызықты функционал болса, онда

1

D(f ) – сызықты көпбейне

1

x,y D( f ) үшін f(x + y) = f(x) + f(y)

1

x D( f ) , α R¹ f (α x)=α f(x)

0

f (α x)> α f(x) x D( f ) , α R¹

0

Если x_n → x , то f(x_n ) → f(x) при n →

0

M > 0 : | f(x) | ≤ M || x || , x D( f )

0

Ограниченный функционал

0

неограниченный

V3

Егер f - сызықты Х кеңістігінде анықталған сызықты функционал болса, онда

1

D(f ) – сызықты көпбейне

1

егер қайсыбір x,y D( f ) үшін f(x) =f(y) болса, бұдан f(x - y) = 0 шығады

1

егер D(f ) =X және f нөлдік элементте үзіліссіз дегеннен f бүкіл Х-те үзіліссіз деген шығады

0

f (α x)> α f(x) x D( f ) , α R¹

0

Если x_n → x , то f(x_n ) → f(x) при n →

0

M > 0 : | f(x) | ≤ M || x || , x D( f )

0

ол міндетті түрде үзілісті функционал болады

0

ол міндетті түрде үзіліссіз функционал болады

V3

Егер f - сызықты Х кеңістігінде анықталған сызықты функционал болса, онда

1

Ker(f ) – ядросы сызықты көпбейне

1

f(0) = 0

1

егер f нөлдік емес болса, онда оның мәндер жиыны бүкіл сандар жиыны болады

0

x D( f ) , α R¹ үшін f (α x) < α f(x)

0

Если x_n → x , то f(x_n ) → f(x) при n →

0

M > 0 : | f(x) | ≤ M || x || , x D( f )

0

ол міндетті түрде шенелген функционал болады

0

ол міндетті түрде шенелмеген функционал болады

V3

Егер f –сызықты D(f)=Х кеңістігінде анықталған шенелген сызықты функционал болса, онда

1

Ker(f ) – ядросы тұйық жиын болады

0

f(0) саны 0 ден өзгеше болуы мүмкін

0

егер f нөлдік емес болса, онда оның мәні болмайтын нақты сан табылады

0

x D( f ) , α R¹ үшін f (α x) < α f(x)

1

Егер x_n → x болса, онда f(x_n ) → f(x) ( n →)

1

M > 0 : | f(x) | ≤ M || x || , x D( f )

0

ол міндетті түрде шенелген функционал болады

0

ол міндетті түрде шенелмеген функционал болады

V3

Сызықты функционалдың || f || нормасы

1

1

1

0

0

0

0

max || x ||

0

| f(x)| + || x ||