Тема 3: Гильбертовы пространства

V3

Нормасы скаляр көбейтінді арқылы анықталған кеңістік:

1

1

1

0

C[a,b]

0

_{m шенлген тізбектер кеңістігі}

0

0

0

V3

X нақты сандар өрісінің үстінен берілген кез келген сызықтық кеңістік болсын. Егер (x , y) : X×X → R¹ скаляр көбейтінді болса, онда барлық x,y,z X элементтері мен әрбір λ R¹ нақты саны үшін:

1

(x,y) = (y,x)

1

(λx, y) = λ(x, y)

1

( x + y,z) =( x, z) + (y , z)

0

(x, x) < 0

0

(x,y) = - (y,x)

0

( x + y,z) > ( x, z) + (y , z)

0

( x + y,z) < ( x, z) + (y , z)

0

(x,y) > 0

V3

X комплекс сандар өрісінің үстінен берілген кез келген сызықтық кеңістік болсын. Егер (x , y) : X×X → С скаляр көбейтінді болса, онда барлық x,y,z X элементтері мен әрбір λ С комплекс саны үшін:

1

1

(x, y) = (x, y) ( )

1

( x + y,z) =( x, z) + (y , z)

0

(x, x) < 0

0

(x,y) = - (y,x)

0

( x + y,z) > ( x, z) + (y , z)

0

( x + y,z) < ( x, z) + (y , z)

0

(x,y) = i (y,x)

V3

X комплекс сандар өрісінің үстінен берілген кез келген сызықтық кеңістік болсын. Егер (x , y) : X×X → С скаляр көбейтінді болса, онда барлық x,y,z X элементтері мен әрбір λ С комплекс саны үшін:

1

, мұндағы жорамал бірлік

1

(

1

( x + y,z) =( x, z) + (y , z)

0

, мұндағы жорамал бірлік

0

(x,y) = - (y,x)

0

( x + y,z) > ( x, z) + (y , z)

0

( x + y,z) < ( x, z) + (y , z)

0

(x,y) = i (y,x)

V3

Егер х , у нөлдік емес ортогональ элементтер болса, онда

1

(х, у) = 0

1

х, у элементтері сызықты тәуелсіз

1

|| x ||² + || y ||² = || x + y ||²

0

|| x ||² + || y ||² > || x + y ||²

0

|| x ||² + || y ||² < || x + y ||²

0

Қайсыбір λ≠ 0 саны үшін у =λ х орындалады

0

Әрбір λ≠ 0 үшін у =λ х болады

0

х, у элементтері сызықты тәуелді

V3

Ортонормаланған векторлар жүйесі туралы ақиқат сөйлемдер:

1

Ол сызықты тәуелсіз жүйе болады

1

Әрбір элементінің нормасы 1-ге тең

1

Кез келген екі элементі ортогональ

0

Ол сызықты тәуелді жүйе болады

0

Ол толық жүйе

0

Ол тұйық жүйе

0

Ортогональ емес жүйе

0

Жүйеде нормасы 1-ден үлкен элементтер бар

V3

Е евклид кеңістігіндегі скаляр көбейтінді қасиеттері:

1

Скаляр көбейтіндінің үзіліссіздігі: x_n → x , y_n →y ( n → ∞) болса, онда

(x_n ,y_n)→(x,y) ( n → ∞)

1

| (x, y) | ≤ || x || ∙ || y|| , x , y Е

1

|| x || = , x Е

0

x , y Е : | (x, y) | > || x || ∙ || y||

0

|| x || = (x, x)

0

(x, y) =0 , x , y Е

0

x_n → x , y_n →y (n → ∞) болғанда, (x_n ,y_n ) тізбегі (x,y)-ке жинақталмайды

0

x_n → x , y_n →y (n → ∞) болғанда, (x_n ,x) → (y_n , y ) болады

V3

U унитар кеңістігіндегі скаляр көбейтінді қасиеттері:

1

1

(x, y) = (x, y) ( )

1

( x + y,z) =( x, z) + (y , z)

0

(x, x) < 0

0

(x,y) = - (y,x)

0

( x + y,iz) = i( x, z) + i(y , z)

0

( x + y,z) < ( x, z) + (y , z)

0

(x,y) = i (y,x)

V3

U унитар кеңістігіндегі скаляр көбейтінді қасиеттері:

1

, мұндағы жорамал бірлік

1

(

1

( x + y,z) =( x, z) + (y , z)

0

, мұндағы жорамал бірлік

0

(x,y) = - (y,x)

0

( x + y,iz) = i( x, z) + i(y , z)

0

( x + y,iz) = ( x, z) + (y , z)

0

(x,y) = i (y,x)

V3

U унитар кеңістігіндегі скаляр көбейтінді қасиеттері:

1

Скаляр көбейтіндінің үзіліссіздігі: x_n → x , y_n →y ( n → ∞) болса, онда

(x_n ,y_n)→(x,y) ( n → ∞)

1

| (x, y) | ≤ || x || ∙ || y|| , x , y Е

1

|| x || = , x Е

0

x , y Е : | (x, y) | > || x || ∙ || y||

0

|| x || = (x, x)

0

(x, y) =0 , x , y Е

0

x_n → x , y_n →y (n → ∞) болғанда, (x_n ,y_n ) тізбегі (x,y)-ке жинақталмайды

0

x_n → x , y_n →y (n → ∞) болғанда, (x_n ,x) → (y_n , y ) болады

V3

Скаляр көбейтінді (x, y) =

1

(x, y  E^m)

1

( нақты кеңістікте)

1

( L₂[a; b] нақты кеңістікте)

0

( E^m кеңістікте)

0

( нақты кеңістікте)

0

(L₂[a; b] нақты кеңістікте)

0

(E^m кеңістікте)

0

( L₂[a; b] кеңістікте)

V3

С комплекс сандар жиынының өзін унитар кеңістікке айналдыру үшін (x, y) скаляр көбейтіндісі ретінде алуға болатын өрнектер:

1

(x, y  С)

1

(x, y  С)

1

(x, y  С)

0

(x, y  С)

0

(x, y  С, i –жорамал бірлік)

0

(x, y  С, i –жорамал бірлік)

0

(x, y  С, i –жорамал бірлік)

0

(x, y  С, i –жорамал бірлік)