"Ряди динаміки"

Задача 1. Динаміка введення у експлуатацію житлових будинків в Україні характеризується даними, наведеними у табл..

Рік Показник	1990	1995	1998	2000	2001	2002
Введення в експлуатацію житлових будинків, тис.кв.м.	17447	8663	5848	5558	5939	6073

Проаналізуйте ряди динаміки, обчисливши:

1. ланцюгові і базові абсолютні прирости, темпи зростання і темпи приросту, коефіцієнт прискорення (уповільнення) динаміки;

2. абсолютне значення 1% приросту;

3. середній рівень ряду;

4. середній абсолютний приріст;

5. середньорічний темп зростання і приросту за 1990-2002 рр.

Зробіть висновки. Результати оформіть в табличній формі.

Рішення:

Показник	темп зростання		абсолютний приріст		темп приросту		абс.знач.1% приросту
	базисні	ланцюгові	базисні	ланцюгові	базисні	ланцюгові	базисні	ланцюгові
17447	-	-	-	-	-	-	-	-
8663	0,496532	0,496532	-8784	-8784	-50,3468	-50,3468	174,47	174,47
5848	0,335187	0,675055	-11599	-2815	-66,4813	-32,4945	174,47	86,63
5558	0,318565	0,95041	-11889	-290	-68,1435	-4,95896	174,47	58,48
5939	0,340402	1,06855	-11508	381	-65,9598	6,854984	174,47	55,58
6073	0,348083	1,022563	-11374	134	-65,1917	2,256272	174,47	59,39

Абсолютний приріст — це різниця між наступним і поперед­нім, або базисним, ріннями ряду. Він показує, на скільки оди­ниць наступний рівень відрізняється від попереднього, що прийнятий за базу порівняння (швидкість зміни).

Абсолютний приріст може бути додатним (динаміка зроста­ння), від'ємним (зменшення) або нульовим (без змін).Абсолютний приріст позначається буквою ∆ («дельта»), вимі­рюється в одиницях виміру ознаки та обчислюється за фор­мулами:

— базисні абсолютні прирости;

— ланцюгові абсолютні прирости.

Коефіцієнт зростання — це відношення наступних показни­ків до попередніх, з якими їх порівнюють. Коефіцієнти зростання позначають буквою К і вимірюють у коефіцієнтах або у відсотках множенням коефіцієнта на 100%. Якщо коефіцієнт зростання певного рівня більший за оди­ницю (К>1), то це свідчить про зростання рівня, якщо К<\ — про зниження.

Коефіцієнти зростання обчислюються за формулами :

— базисні коефіцієнти зростання;

— ланцюгові коефіцієнти зростання.

Теліп приросту — це відношення абсолютного приросту до попереднього рівня ряду (або базисного), виражене у відсотках. Він є вимірником відносної швидкості зростання і показує, на скільки відсотків збільшився (зменшився) показник (наступний рівень) порівнянне з попереднім чи базисним. Додатне значен­ня темпу приросту свідчить про зростання рівня, а від'ємне — про зниження (темпи падіння). Позначається він буквою Т (темп).

Згідно з визначенням, темпи приросту обчислюються за формулами:

— базисні темпи приросту;

— ланцюгові темпи приросту.

Але у практиці використовують більш зручну формулу

Абсолютне значення 1% приросту — це відношення абсолют­ного приросту за певний час до темпу приросту цього самого періоду. Цей показник розкриває вагомість 1% приросту, його вираження в абсолютній величині. Він показує, що означає під­вищити або знизити рівень певного суспільного явища на один відсоток. Абсолютне значення 1% приросту вимірюється в оди­ницях рівнів ряду і обчислюється за фор­мулою

Показник абсолютного значення одного відсотка приросту можна також одержати, якщо поділити абсолютний рівень попереднього періоду на 100.

Середній рівень динамічного ряду характеризує середній розмір явища для всього періоду часу. Період часу — це різниця між останнім та початковим моментами (періодами).

Середній рівень інтервальпого ряду визначають за формулою середньої арифметичної простої

де у_і — показник ряду ; п — кількість показників.

Середній абсолютний приріст обчислюють за формулою се­редньої арифметичної простої з ланцюгових приростів

де п— кількість ланцюгових абсолютних приростів. Якщо відомі базисні прирости, то зручніше обчислювати за формулою

Середній темп зростання (К) обчислюють за формулою се­редньої геометричної:

де К₁,К₂,...,К_п — ланцюгові темпи зростання, п — кількість ланцюгових темпів зростання. Цю формулу можна спростити

де

— кінцевий базисний темп зростання.

Середній темп приросту обчислюють як різницю між серед­нім темпом зростання (у %) і 100% за формулою

середній рівень ряду	8254,667
середній абсолютний приріст	-2274,8
середній темп зростання
середній темп приросту	-100

Задача 2. Визначити тенденцію ряду динаміки прибутку банку методом аналітичного вирівнювання, якщо є такі дані:

Рік	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004
Прибуток, млн..грн.	2,4	2,8	3,5	4,8	5,1	6,8	7,2

Рішення:

Найбільш ефективним способом виявлення основної тенденції розвитку є аналітичне вирівнювання, яке базується на застосуванні методів математичного аналізу. При аналітичному вирівнюванні показників динамічного ряду фактичні значення їх рівнів замінюються визначеними на основі певної функції, яку називають трендовим рівнянням.

Лінійна форма тренду:

де - показники, звільнені від коливань, вирівнені за прямою;

а – початковий рівень тренда в момент або період, прийнятий за початок відрахунку часу t;

в – середній абсолютний приріст в одиницю часу.

Лінійна функція добре віддзеркалює тенденцію зміни явища при більш- менш сталих абсолютних приростах, тобто коли показники динамічного ряду змінюються в арифметичній прогресії.

Після встановлення типу тренду необхідно визначити значення параметрів трендового рівняння, виходячи з фактичних даних досліджуваного ряду динаміки. З цією метою використаємо метод найменших квадратів.

Згідно з умовою мінімізації суми квадратів відхилень фактичних рівнів від теоретичних, згладжених ( ), параметри лінійної функції визначаються розв’язанням системи двох нормальних рівнянь такого виду:

Рік	Прибуток, млн.грн.	Змінна часу t	t²	yt	Теоретичне значення,у
1998	2,4	-3	9	-7,2	2,085714
1999	2,8	-2	4	-5,6	2,942857
2000	3,5	-1	1	-3,5	3,8
2001	4,8	0	0	0	4,657143
2002	5,1	1	1	5,1	5,514286
2003	6,8	2	4	13,6	6,371429
2004	7,2	3	9	21,6	7,228572
Всього	32,6		28	24	32,600001

Систему рівнянь можна спростити, якщо відлік часу (t=0) перенести в середину ряду. У цьому випадку умовні значення t, розміщені вище середини, будуть від’ємними, а нижче - додатними. При непарній кількості показників в ряду (7), четвертий рівень вважається нульовим, і змінній t надаються значення з інтервалом одиниця: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; У кожному випадку , а система рівнянь приймає вигляд:

.

З першого рівняння знаходимо величину параметра : , а значення параметру - з другого рівняння: .

Визначимо параметри лінійного рівняння для наведеного вище:

а=	4,657143
в=	0,857143

Лінійний тренд має вигляд:

у=	4,657143+0,857143t

тобто середньорічний прибуток складав 4,657 млн.грн., з середньорічним приростом – 0,857 млн.грн. Розрахункові рівні випуску продукції в кожному місяці приведені в останній графі таблиці

Задачі по темі