"Средние величины"

Задача №1

На предприятии работает 20 человек. Трое из них имеют 4-й разряд, девять человек 5-й разряд и восемь человек 6-й разряд. Определите средний тарифный разряд по предприятию.

Решение

Сгруппируем исходные данные таким образом:

средний тарифный разряд (Х)	количество человек (частота, f)
4	3
5	9
6	8

при таких исходных данных средний тарифный разряд определяется по формуле средней арифметической взвешенной: , т.е. при наших исходных данных - это средний тарифный разряд.

Задача № 2

Определите среднемесячный остаток оборотных средств за первый квартал, если остаток оборотных средств на начало каждого месяца соответственно составлял: 70 млн. грн на 1 января, 82 млн. грн на 1 февраля, 77 млн. грн на 1 марта и 80 млн. грн. на 1 апреля.

Решение

Так как в исходных данных даны моментные значения (т.е. данные на определённый момент времени), таких моментов больше чем 2 и интервалы между ними равные, то будем использовать формулу средней хронологической: млн. грн – это и будет среднемесячный остаток оборотных средств.

Задача № 3

При следующих исходных данных определите среднюю продуктивность труда 1 рабочего для всех бригад

Тип бригады	Объем выпущенной продукции, тыс. грн. (w)	Средняя продуктивность одного рабочего для данного типа бригад (x), грн
Специализированные	720	6000
Комплексные	900	5000

Решение

При таких исходных данных у нас нет знаменателя логической формулы, по которой рассчитывается х (х= ), т.е. в условии не дана частота f. Поэтому для решения задачи будем использовать формулу средней гармонической взвешенной: тыс. грн (или 5400 грн)

Задача № 4

Продажа конфет в двух магазинах характеризуется такими данными:

Сорт конфет	1 магазин		2 магазин
	Цена за 1 кг, грн	Продано, кг	Цена за 1 кг, грн	Выручка от реализации, тыс. грн
Батончик	11,5	1000	21	16,8
Буратино	18	500	15	47,25
Белочка	8,5	850	6,5	31,5

Определить среднюю цену 1 кг конфет по каждому из магазинов и в двух магазинах вместе.

Решение

1) Средняя цена в первом магазине определяется по формуле средней арифметической взвешенной, т.к. в условии задачи дана цена за 1 кг (х) и частота (количество проданных килограмм) – f. Поэтому расчет проводим так:

грн

2) Для расчета средней цены 1 кг конфет во втором магазине необходимо использовать формулу средней гармонической взвешенной, т.к. частота не дана в условии задачи, а дан объем совокупности (выручка от реализации продукции) – w. Тогда:

грн

3) Для расчета средней цены по двум магазинам вместе достаточно использовать простейшую формулу средней арифметической простой, т.к. оба значения уже были «взвешены» в предварительных расчетах: грн.

Задача № 5

Дано распределение рабочих завода по среднему стажу работы. Вычислить средний стаж работы рабочих на данном предприятии:

Стаж работы, лет (х)	Количество рабочих, человек (f)
До 2	10
2-5	3
5-10	7
10-13	6
13-15	12
Больше 15	2

Для решения задачи нужно использовать формулу средней арифметической взвешенной, однако проблемой является то, что значения х представлены интервалами. В этом случае в формулу подставляются середины интервалов, т.е в интервале «2-5» значение 3,5; в интервале «5-10» - 7,5; в интервале «10-13» - 11,5; в интервале «13-15» - 14. Такие интервалы, у которых есть обе границы, называются закрытыми. Два оставшихся интервала «до 2» и «больше 15» называются открытыми и имеют только одну границу. В случае открытых интервалов принято считать, что их среднее значение удалено от границы интервала на столько же, как и в ближайшем закрытом интервале. Т.е. для интервала «до 2» будем считать, что его середина удалена от известной границы на 1,5 единицы (как и в интервале «2-5») = 0,5, а для интервала «больше 15» будем считать, сто его середина удалена от границы на 1 единицу (как и в интервале «13-15») = 16. Тогда таблицу исходных данных можно представить в таком виде:

х	f
0.5	10
3.5	30
7.5	7
11.5	6
14	12
16	2

Тогда средний стаж работы рассчитываем так:

лет

Задача № 6

Проведя испытания электрических лампочек на время горения, получили такие результаты:

Время горения, часов	Количество лампочек, штук
До 1000	38
1000-1200	206
1200-1400	110
1400-1600	96
Более 1600	150

Определите моду и медиану полученного ряда распределения.

Решение

1) Для определения моды сначала визуально определяем модальный интервал – он соответствует наибольшей частоте. Наибольшая частота , поэтому интервал «1000-1200» будем считать модальным. В таком случае мода легко рассчитывается по формуле:

2) Для определения медианы сначала необходимо рассчитать накопленную частоту (кумуляту) S:

Время горения, часов	Кумулята (S)
До 1000	38
1000-1200	206+38=244
1200-1400	110+244=354
1400-1600	96+354=450
Более 1600	150+450=600

Медиальный интервал находится там, где кумулята в первый раз стала больше полусуммы частот. Полусумма частот . Накопленная частота превысила это значение на интервале «1200-1400» ( ). Поэтому именно этот интервал считается медиальным, а значение медианы рассчитывается по формуле: