Инструкция к лабораторой работе № 4

Статистическая проверка статистических гипотез

Статистической гипотезой называется гипотеза (предположение)

о виде закона распределения или о параметрах распределения.

В лабораторной работе № 4 проверяются гипотезы о параметрах распределения. Гипотезы о виде закона распределения проверяются в лабораторных работах № 5, 6, 7.

Основные понятия и определения

Выдвигаемая гипотеза, которую предстоит проверять, называется нулевой гипотезой и обозначается H ₀ .

Гипотеза , которая противоречит H ₀ , называется альтернативной или конкурирующей и обозначается H ₁.

Источником информации при проверке любой гипотезы служит только выборка { x ₁ , x ₂ , x ₃ , . . . , x _n } и ничего больше. Схема проведения такой проверки такова: по значениям x _i подсчитывается некоторое число K, которое называется критерием и по величине этого числа судят от том, принимать эту гипотезу или не принимать. Так как числа x _i случайны, то и критерий K  тоже величина случайная.

При некоторых значениях критерия гипотезу принимают, при некоторых отвергают. Все значения K, при которых гипотезу принимают, образуют область принятия гипотезы. Значения K, при которых H ₀ не принимают, образуют критическую область.. Точки, отделяющие одну область от другой - критические точки (K_кр)

В зависимости от решаемой задачи критическая область может быть двусторонней, правосторонней или левосторонней. В соответствии с этим критических точек может быть две или одна .

Проверяется любая гипотеза по вошедшим в выборку случайным значениям x _i . При этом возможны ошибки.

Если гипотеза H ₀ верна, а мы ее отвергли, так как подсчитанное по выборке значение критерия (его называют наблюдаемым значением K _набл ) попало в критическую область, то это ошибка первого рода. Вероятность ее называют уровнем значимости и обозначают  . Желательно, чтобы эта вероятность была как можно меньше .

Если гипотеза H ₀ неверна, а мы ее приняли, так как K_набл попало в область принятия гипотезы, то это ошибка второго рода. Ее вероятность обозначают  .

Если известен закон распределения случайной величины K, то по известным правилам можно подсчитать вероятность ее попадания в любую область, в том числе и в критическую область . Приравнивая эту вероятность заданному числу , можно установить связь между  и K _кр . Для каждого рассматриваемого здесь критерия существуют таблицы, по которым можно найти K _кр по заданному  . Обычно задают уровень значимости  равным 0,01; 0,05 или 0,1.

Формула для расчета критерия зависит от того, какая гипотеза проверяется. Каждой гипотезе соответствует свой критерий, так что существует достаточно большое количество различных критериев. Более того, иногда для решения одной и той же задачи создано несколько критериев.

Порядок действий по проверке любой гипотезы

1. Выбирают критерий, соответствующий данной задаче.

2. По выборке подсчитывают наблюдаемое значение критерия

K_набл;

3. По соответствующим таблицам находят критическое значение критерия K _кр , характеризующее критическую область;

4. Если K_набл попало в критическую область, гипотезу H ₀ отвергают, если нет - гипотезу принимают.

Дальше перечислены некоторые часто встречающиеся гипотезы и записаны критерии, по которым их нужно проверять.

Заданы 6 выборок различного объема: для Х₁ и Х ₂ объемом 20, для Х₃ , Х₄ , Х ₅ объемом 15, и для Х ₆ объемом 10. В предположении, что это выборки из нормальных распределений, необходимо