Статистическая проверка статистических гипотез

Статистической наз. Гипотеза о виде з-на распределения или о параметрах распределения.

Проверять справедливость гипотезы можно только по выборочным данным. С. данные, вошедшие в выборку. Подсчитанные по ним величины тоже случайны.

Статистическим критерием К наз. С.в., служащая для проверки гипотезы (это ф-ла, зависящая от х_i ):

К=К(х₁,х₂…х_n) - (1)

Нулевой гипотезой М₀ наз.выдвинутая гипотеза, кот. Нужно проверить ( напр.: с.в. – норм с m_x=2.5, σ_x=3.1 ) Конкурирующей или альтернативной наз. Гипотеза, противоречащая М₀, М₁ (m_x≠2.5, σ_x>3,1).

Проверка гипотезы производится след.образом: по выборке подсчитывают значение К наблюдаемого и по его величине решают, принять гипотезу или нет.

Те значения К, при кот. Гипотеза принимается, образуют область принятия гипотезы; при кот. Отвергается – критическую область. Точки, разделяющие эти области, наз-ся критическими точками.

В зависимости от гипотезы и критерия критические области бывают:

• Д вусторонняя К_ср ^лев К_ср^прав К

• П равосторонняя К_ср К

• Л евосторонняя К_ср К

Критерий – с.в. и при проверке гипотезы возможны случайные ошибки.

1. М₀ верна, но мы ее отвергаем, т.к. к_набл попал в критическую область. Это ошибка 1-го рода.

P(ош I рода) =α (2)

2. М₀ неверна, но мы ее принимаем , т.к. К_набл попал в область принятия гипотезы. Это ошибка П-го рода.

P(ош П рода) =β (2)

Для проверки гипотезы можно предложить разные ф-лы. Лучшей из них считают ту, кот. Позволяет принять М₀ , если она верна, и отвергнуть М₁ , если она неверна.

Мощностью критерия наз-ся вер-ть принять гипотезу М₀, если она верна.

М=P(М₀ верна и принята) = 1-β (4)

Вер-ти α и β стараются сделать как можно меньше.

Проверка гипотезы о равенстве мат.Ожиданий двух нормальных распределений

Ставились опыты над двумя норм.с.в. Х_i . Получены две выборки разного V:

(х₁,х₂…х_n) n

(y₁,y₂…y_m) m

По ним подсчитаны средние. Например, =12,5 и =14,1.

Гипотеза М₀: m_x=m_y (различие средних незначимо)

М₁: m_x≠m_y (различие средних значимо)

Построим критерий для проверки гипотезы К:

(5)

Чем больше разность между и , тем больше шансов, что гипотезу нужно отвергать; если эта разница небольшая, то гипотезу принимаем. Чтобы исключить влияние разброса и , ввели в знаменатель величину, характеризующую этот разброс. Найдем з-н распр-я критерия К:

1. Теоретические D_x и D_y известны:

σ[ - ] - ?

D[ - ] = D[ ] + D[ ] = D[ ] + D[ ] =

=

σ[ - ] = (6)

Если дисперсии известны, то знаменатель критерия (5) – постоянное число.

= все х_i – нормальные - нормальная

= все y_i – нормальные - нормальная

- - нормальная , а значит и К имеет нормальное распределение.

Найдем параметры этого распределения:

M[K] = M[ ] =

D[K] = D[ ] = =1

Критерий К имеет норм. Распред-ие с D_k =1 и m_k =

D_k =1

m_k = (7)

Пусть гипотеза M₀ верна (m_x=m_y) , тогда m_k =0, D_k =1. Тогда критерий К имеет стандартное норм. распред-е Z.

Z

Критерий для проверки гипотезы о равенстве мат.ожиданй при известных дисперсиях

= (8) –

f(z) f(z)

z

-z_кр z_кр

_{область принятия}

двусторонняя критическая область

Если гипотеза верна, а мы ее отвергаем из-за того, что z набл. Попала в критическую область, то мы совершаем ошибку 1-го рода. Ее вер-ть =α. Посчитаем ее вер-ть и приравняем к α.

Р(/z/> z_крит) = 1-2Ф (z_крит)

1-2Ф (z_крит) =α (9)

Ф-ла (9) позволяет найти крит.точку, если задан уровень значимости α.

2Ф (z_крит) =1-α

Z_крит = (10)

Ф^-1(x) – обратная ф-ии Лапласа