Производная сложной функции

Рассмотрим функцию h (x) = g (f (x)). Функции подобного типа называются сложными. Приведем примеры таких функций:

ln (5х - 3) ; (12 + х - х²)⁸; sin (2x - ); и т.п.

Чтобы вычислить значение сложной функции h (x) = g (f (x)) в произвольной точке х_о, сначала вычисляют значение «внутренней» функции в этой точке: у = f (х_о), а затем находят h = g (у).

Для нахождения производной сложной функции пользуются следующим правилом: если функция f имеет производную в точке х_о, а функция g имеет производную в точке у_о = f (х_о), то сложная функция h (x) = g (f (x)) также имеет производную в точке х_о, причем

h′(x) = g′ ( f (х_о)) ∙ f ′(х_о) или

h′ (у) = g′(у) ∙ у′ .

Для удобства нахождения производных сложных функций можно составить следующую таблицу:

h(х) = g(у), где у = f(х)	h′ (у) = g′(у) ∙ у′
у n	n ∙ у n -1 ∙ у′
sin у	у′ ∙ cos у
cos у	- у′ ∙ sin у
tg у
ctg у
℮ у	у′ ∙℮ у
а у	у′ ∙ а у ∙ ln а
ln у
log a у
arcsin у
arccos у
arctg у
arcсtg у

Рассмотрим способы вычисления производной различных сложных функций:

П р и м е р 1: найдем производную степенной функции h (x) = (5х + 7) ¹², где в качестве аргумента выступает линейная функция f(x) = 5х + 7:

Обозначим линейную функцию f(x) через переменную у, тогда у = 5х + 7. Выразим h (x) через переменную у: h (у) = у ¹²

При нахождении производной воспользуемся формулой

(у ⁿ ) ′ = n ∙ у ^n-1 ∙ у′ ( 1 )

тогда h ′ (у) = 12 ∙ у ¹¹ ∙ у′

найдем значение у ′: у′ = (5х) ′ + (7) ′ = 5 + 0 = 5,

следовательно, h ′ (у) = 12 ∙ у ¹¹ ∙ 5 = 60 у ¹¹ подставим в это выражение значение переменной у: у = 5х + 7.

В итоге получаем h ′ (x) = 60( 5х + 7 ) ¹¹

П р и м е р 2: найдем производную степенной функции h (x) = sin ³х, где в качестве аргумента выступает тригонометрическая функция f(x) = sin х

Положим у = sin х, тогда сложная функция примет вид: h (у) = у ³.

При решении воспользуемся той же формулой (1) : h ′ (у) = 3у ² ∙ у′

найдем значение у ′: у′ = cos х

тогда h ′ (x) = 3у ² ∙ cos х

В итоге: h ′ (x) = 3 sin ² ∙ cos х

П р и м е р 3: найдем производную функции h (x) =

Для решения используем формулу: = ( 2 )

положим у = 3х ² + 5х ⁴ , тогда у′ = 6х + 20х ³ .

h ′ (x) =

П р и м е р 4: найдем производную функции h (x) = log₅ (2x – 3).

Для решения используем формулу: ( log _a у) ′ = ( 3 )

положим у = 2х – 3, тогда у′ = 2. Окончательно производная примет вид:

h ′ (x) =

П р и м е р 5: найдем производную функции h (x) = ln ( ln 3x)

положим у = ln 3x , тогда по формуле (3 ): у′ =

Производная h ′ (x) = или h ′ (x) =

П р и м е р 6: найдем производную функции h (x) = cos 6x + sin (3x – 1). При решении необходимо использовать формулы: (sin у) ′ = у′ ∙ cos у ( 4 )

и (cos у) ′ = - у′ ∙ sin у ( 5 )

Кроме того, воспользуемся правилом дифференцирования суммы функций:

(u + v ) ′ = u ′ + v ′

Введем следующие обозначения: u = cos 6x, v = sin (3x – 1) .

По формуле (5) найдем значение u ′: u ′ = - (6 x) ′ sin 6x = -6 sin 6x.

По формуле (6) найдем значение v ′: v ′ = (3х – 1) ′ ∙ cos (3x – 1) = 3 cos (3x – 1).

Тогда: h ′ (x) = -6 sin 6x + 3 cos (3x – 1).

П р и м е р 7: найдем производную функции h (x) = arccos (6x² + 1)

Для решения используем формулу: (arccos у) ′ =

Положим у = 6х² + 1, тогда у′ = 6 ∙ 2х = 12х

В итоге: h ′ (x) =

П р и м е р 8: найдем производную функции h (x) = е ^{2x + sin x}

Для решения используем формулу: ( е ^у) ′ = у′∙ e ^у

Положим у = 2x + sin x, тогда у′ = 2 + cos x

В итоге: h ′ (x) = (2 + cos x)∙ е ^{2x + sin x}

П р и м е р 9: найдем производную функции h (x) = 7 ^{2cos x – ln 5x}

Для решения используем формулу: ( а ^у) ′ = у′∙ а ^у ∙ ln а

Положим у = 2cos x – ln 5x, тогда у′ = -2 sin x - ( т.к. (ln 5х)′ = )

В итоге: h ′ (x) = (-2 sin x - ) ∙ 7 ^{2cos x – ln 5x} ∙ ln 7(4х⁵ – 2х³ + 7)

П р и м е р 10: найдем производную функции h (x) =

Для решения используем формулу:

Положим у = 4х⁵ – 2х³ + 7, тогда у′ = 4∙5х⁴ - 2∙3х² + 0

или у′ = 20х⁴ - 6х²

В итоге: h ′ (x) =

ЗАДАНИЕ № 2:

Найдите производную следующих функций

1) (12х + 3х²) ⁷ 5) sin² x 9) ln (4 - x) 13) ln3x - arcctg e ^x

2) log₆ (2x -5) 6) 4x³ + sin2x 10) lоg₂ (3x² + 7) 14) 5cos³x + arcsin (2 + х²)

3) 7) (8 +√x)⁴ 11) 6 ^3х+1 15) arctg (4x – 5)

4) (9x – cos x) ⁵ 8) cos3x + sin6х 12) 11x⁸ – sin6x 16) e ^{3x - 4}