§ 13. Векторное произведение двух векторов в прямоугольных декартовых координатах

В ортонормированном репере имеют место соотношения:

. (13.1)

Кроме того, нетрудно показать, что

(13.2)

Схема для запоминания векторного умножения векторов базиса

Таким образом, из (11.2) следует, что векторное произведение двух векторов , в прямоугольных декартовых координатах выражается формулой

(13.3)

Так как , то площадь параллелограмма, построенного на векторах и , можно найти по формуле

(13.4)

Задача. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и , заданных в репере .

Решение. Будем считать, что плоскость векторов и совпадает с координатной плоскостью из с репером и в .

Тогда из (12.2) следует, что

. (13.5)

И площадь параллелограмма, построенного на векторах и , можно найти по формуле

(13.6)

где - площадь координатного параллелограмма.

Если система координат прямоугольная декартова, т.е. и , то , и, следовательно, формула (12.6) принимает вид:

. (13.7)

§ 14. Смешанное произведение трех векторов

Определение. Смешанным (векторно-скалярным) произведением трех векторов называют скалярное произведение векторного произведения векторов на вектор .

Теорема 14.1. Абсолютная величина смешанного произведения трех векторов равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Доказательство:

Рис.14. 1

Пусть . Тогда

.

ч.т.д.

Следствие 1. , если – правая связка;

, если – левая связка.

Следствие 2. Три вектора компланарны

Определение. Циклированием упорядоченной совокупности векторов называют такое их преобразование, когда каждый вектор заменяется следующим за ним вектором, а последний первым.

Теорема 14.2. При циклировании векторов смешанное произведение не меняет своего значения.

Доказательство. Очевидно, что при циклировании трех векторов:

1) параллелепипед не деформируется;

2) тип связки не изменяется.

ч.т.д.

Теорема 14.3. Скалярный множитель в смешанном произведении выносится за знак смешенного произведения.

.

Доказательство вытекает из свойств векторного и скалярного произведений.

Теорема 14.4. Смешанное произведение дистрибутивно по каждому из сомножителей:

Доказательство вытекает из свойств скалярного и векторного произведений.

Теорема 14.5. При перестановке двух рядом стоящих векторов смешанное произведение меняет лишь знак.

Доказательство: .

.

ч.т.д.

Теорема 14.6. В смешанном произведении векторные операции можно менять местами.

.

Доказательство: .

ч.т.д.

Замечание. В силу произвола в расстановке векторных операций в обозначении смешанного произведения векторные операции не указывают:

.

§ 15. Смешанное произведение трех векторов в координатах

Пусть в аффинном репере заданы векторы , и .

Тогда

Таким образом, имеет место

Теорема 15.1. Смешанное произведение трех векторов , и в аффинных координатах выражается формулой

. (15.1)

Следствие. Векторы , и компланарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство

. (15.2)

Если , то . Тогда смешанное произведение трех векторов , и в прямоугольных декартовых координатах выражается формулой

. (15.3)