Занятие 6. Закон Всемирного тяготения.

Закон всемирного тяготения. Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними:

где G = 6,67·10^–11 м³/кг·с² (СИ) – гравитационная постоянная.

Закон всемирного тяготения справедлив для точечных, а также сферически симметричных тел. Приближенно он выполняется для любых тел, если расстояние между ними значительно больше их размеров.

Одним из проявлений закона всемирного тяготения является сила тяжести. На поверхности Земли r = R_земли , поэтому сила всемирного тяготения, действующая на тело массой m, равна

где ускорение свободного падения 

Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения равно приблизительно g = 9,8 м/с².

Сила F называется силой тяжести и направлена к центру Земли.

На спутник и тела внутри него действует только сила тяжести, сообщающая центростремительное ускорение, равное ускорению свободного падения (на малых высотах) a = g в системе отсчета, связанной с Землей. Для того чтобы двигалось по круговой орбите вблизи поверхности Земли, телу необходимо сообщить скорость, направленную по касательной к орбите и имеющую определенное значение. Эта скорость получила название первой космической.

Первая космическая скорость:

Вторая космическая скорость:

Задания для фронтальной работы:

1) На какой высоте h ускорение свободного падения будет в n=9 раз меньше ускорения свободного падения у поверхности Земли?

2) Какой должна быть скорость у искусственного спутника, чтобы он мог двигаться по круговой орбите на высоте h = 3430 км над поверхностью Земли? Найти период его обращения.

3) Во сколько раз скорость искусственного спутника Земли, вращающегося по круговой орбите радиуса R, больше скорости спутника, вращающегося по орбите радиуса 2R?

1) 4 2) 2 3) 1,4 4) 1 5) 0,5

4) Найти силу тяготения, действующую на тело массой 4 кг, поднятое над Землей на высоту, равную трети земного радиуса.

1) 45 Н 2) 22,5 Н 3) 67,5 Н 4) 11,25 Н 5) 33,75 Н

5) Ускорение свободного падения на поверхности некоторой планеты, средняя плотность которой равна средней плотности Земли, но радиус в n раз больше земного, равно …

1) 10n² 2) 10 n^0,5 3) 10 n 4) 10/n 5) 10 n^1/3

6) Ускорение силы тяжести на поверхности некоторой планеты, радиус которой в n раз больше радиуса Земли и масса в m раз больше массы Земли, равно …

7) Найти первую космическую скорость для тела, вращающегося вблизи поверхности Земли.

8) Радиус планеты Марс в два раза меньше радиуса Земли, а масса Марса составляет 0,1 массы Земли. Во сколько раз вес одинаковой массы на Земле больше, чем на Марсе?

9) Определите плотность вещества планеты, если ее период вращения вокруг своей оси составляет 3^.10⁴ с, а вес тела на экваторе составляет 97% от веса этого тела на полюсе. Планету считать однородным шаром.

10) Звезда и массивная планета обращаются вокруг общего неподвижного центра масс по круговым орбитам. Найдите массу планеты m, если известно, что скорость движения планеты равна v₁, а скорость движения и период обращения звезды равны v₂ и T соответственно.

Задания для самостоятельной работы:

1) Ускорение свободного падения в точке, удаленной от поверхности Земли на расстояние, равное радиусу Земли равно …

1) 1,5 м/с² 2) 2,5 м/с² 3) 5 м/с² 4) 7,5 м/с² 5) 10 м/с²

2) Ускорение свободного падения на Земле равно 10 м/с². Какой продолжительности должны быть сутки, чтобы тела на экваторе были невесомы?

1) 1,4 часа 2) 1,8 часа 3) 2,2 часа 4) 2,6 часа 5) 3,0 часа

3) Ракета, выпущенная вертикально вверх над Землей, поднялась на высоту 1280 км и начала падать с ускорением примерно равным …

1) 2 м/с² 2) 5м/с² 3) 7 м/с² 4) 9 м/с² 5) 14 м/с²

4) На расстоянии 9600 км от поверхности Земли ускорение свободного падения равно …

1) 1,6 м/с² 2) 4,0 м/с² 3) 4,4 м/с² 4) 5,6 м/с² 5) 6,7 м/с²

5) Масса Земли примерно в 81 раз больше массы Луны. На прямой, соединяющей Землю и Луну, есть точка, находясь в которой любое тело испытывает одинаковое гравитационное притяжение к обеим планетам. Во сколько раз расстояние от Земли до этой точки больше чем от Луны?

1) 0,1 2) 3 3) 9 4) 27 5) 81

6) Сила гравитационного притяжения между шарами из материала одинаковой плотности при увеличении объема одного шара в 2 раза и уменьшении объема второго в 2 раза (центры масс шаров при этом свои координаты не меняют) …

1) возрастет в 4 раза 2) уменьшится в 4 раза 3) возрастет в 2 раза

4) уменьшится в 4 раза 5) не изменится

7) Если массу спутника, вращающегося по круговой орбите над поверхностью Земли на высоте H << R_з, увеличить в два раза, его первая космическая скорость …

1) увеличится в 4 раза 2) увеличится в 3 раза 3) не изменится

4) уменьшится в 3 раза 5) уменьшится в 9 раз

8) Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а диаметр ее в 3,7 раза меньше диаметра Земли. Ускорение свободного падения на Луне равно …

1) 0,17 g 2) 0,05g 3)0,34g 4) 0,1g 5) 0,22g

9) При подъеме ракеты на высоту, равную радиусу Земли, отношение сил тяготения, действующих на ракету на поверхности Земли и на этой высоте, равно …

1) 2 2) 2,5 3) 4 4) 1 5) 1,5

10) Во сколько раз Плутон притягивается к Солнцу слабее Земли, если Плутон удален от Солнца в 40 раз дальше чем Земля? Массы Плутона и Земли считать примерно одинаковыми.

11) Определите период вращения планеты вокруг ее оси, если вес тела на экваторе составляет 97% отвеса этого тела на полюсе. Средняя плотность планеты 5200 кг/м³. Планету считать однородным шаром.

12) Звезда и массивная планета вращаются вокруг общего неподвижного центра масс по круговым орбитам. Найдите радиус R орбиты звезды, если известно, что масса звезды равна M, а радиус орбиты планеты и период ее обращения равны r и Т соответственно.

Рекомендуемое домашнее задание: вопросы А5 теста 4.