Занятие 34, 35. Механические колебания и волны.

Колебания – это движения или процессы, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени.

Период колебаний T – интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание.

Частота колебаний ν – число полных колебаний в единицу времени. В системе СИ выражается в герцах (Гц).

Период и частота колебаний связаны соотношением

Циклическая (или круговая) частота ω = 2πν. Она связана с периодом отношением

 

Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется по закону синуса или косинуса. Смещение определяется формулой

где x₀ – амплитуда, ω – циклическая частота, φ₀ – начальная фаза колебания. Дифференциальное уравнение свободных гармонических механических колебаний имеет один и тот же вид для любых колебаний:

П

ружинный (гармонический) маятник – груз массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно. Круговая частота колебаний груза равна

а период

М

атематический маятник – тело небольших размеров, подвешенное на тонкой нерастяжимой невесомой нити длиной l. Круговая частота математического маятника равна

а период колебаний

В реальных условиях любая механическая система находится под действием сил трения (сопротивления). При этом часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию теплового движения, и свободные колебания становятся затухающими.

Вынужденные колебания – колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы. Частота вынужденных колебаний равна частоте изменения внешней силы.

Если частота ν внешней силы совпадет с частотой свободных колебаний системы, то амплитуда колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом.

Если в каком-нибудь месте твердой, жидкой или газообразной среды возбуждены колебания частиц, то вследствие взаимодействия атомов и молекул среды колебания начинают передаваться от одной точки к другой с конечной скоростью. Процесс распространения колебаний в среде называется волной.

Если T – период волны, а υ – скорость ее распространения, то длина волны

λ = υ.T = λ/ν

Задачи для фронтального решения:

1) Координата груза, укрепленного на пружине, зависит от времени по закону х(t) = 2sin(15,7t), см. Определить путь, пройденный грузом за минуту.

2) Один математический маятник имеет период 3 с, другой 4 с. Каков период колебаний маятника, длина которого равна сумме длин первых двух маятников? Маятники находятся на Марсе.

3) Один математический маятник за минуту совершает 12 колебаний, а второй – 20 колебаний. Сколько колебаний совершает за минуту математический маятник, длина которого равна разности длин первого и второго маятников?

4) Длина математического маятника, расположенного вблизи Земли, в 1,5 раза больше длины математического маятника, расположенного вблизи Луны. Сколько колебаний совершит маятник на Луне за то время, пока маятник на Земле совершит 8 колебаний? Ускорение свободного падения на Луне в 6 раз меньше, чем на Земле.

5) Математический маятник представляет собой шарик массой т = 1 г и зарядом 10 мКл, подвешенный на легкой нерастяжимой непроводящей нити. Во сколько раз изменится пе­риод колебаний маятника, если его поместить в однородное электрическое поле напряженностью 5·10⁵ В/м, направленное вертикально вниз?

6) Математический маятник имеет массу 400г. Период колебаний маятника равен 1,5 с. Определить энергию колебаний маятника, если он отклоняется от вертикали на максимальный угол, косинус которого равен 0,95.

7) Шарик, подвешенный на пружине, совершает вертикальные гармонические колебания и после начала движения проходит путь, равный пяти амплитудам его колебаний за 5 с. Чему равен период колебаний шарика?

8) Какую часть периода груз маятника находится в пределах 2см от положения равновесия, если амплитуда колебаний равна 4 см?

9) Груз, прикрепленный к горизонтально расположенной пружине жесткостью 400 Н/м, совершает гармонические колебания в горизонтальной плоскости. В момент прохождения грузом положения равновесия его кинетическая энергия равна 2 Дж. Определить наибольшее удлинение пружины при колебаниях.

10) Тело массой 2 кг совершает колебания на пружине жесткостью 800 Н/м. При смещении от положения равновесия на 3 см, скорость тела равна 80 см/с. Найти максимальное ускорение тела.

11) Два груза, укрепленные на разных пружинах, совершают гармонические колебания. Период колебаний первого 0,6 с, а второго – 0,8 с. После того как грузы поменяли местами, т. е. второй груз прикрепили к первой пружине, a первый груз – ко второй, период колебании первого груза стал 0.4 с. Каким стал период колебаний второго груза?

12) Как будут относиться периоды колебаний пружинного маятника, если к нему по очереди прикреплять одинакового объема медный (_М=8900 кг/м³) и алюминиевый (_А= 2700 кг/м³) шарики.

13) На пружине подвешен груз, который совершает вертикальные колебания. При одной массе груза период колебаний 1 с, при другой – 0,8 с. Каким будет период колебаний груза, масса которого равна разности масс первого и второго груза?

14) Между двумя пружинами жесткостью k₁ = 3 Н/м и k₂ = 5 Н/м закреплен груз массой 0,5 кг. Свободные концы пружин закреплены. Определить частоту колебаний груза, выведенного из положения равновесия внешним воздействием.

15) Груз массой m, подвешенный на двух одинаковых невесомых пружинах, соединенных последовательно, совершает колебания с частотой 2,5 Гц. Какова будет частота колебаний того же груза на одной пружине?

16) Лодка качается на волнах, распространяющихся со скоростью 2 м/с. Расстояние между двумя ближайшими гребням волн 8 м. Сколько колебаний делает лодка за минуту?

17) Материальная точка равномерно вращается по окружности радиуса 30 см со скоростью 0,5 м/с. Циклическая частота колебаний проекции этой точки на ось, совпадающую с диаметром окружности, равна ... рад/с

18) Волна распространяется вдоль резинового шнура со скоростью 4 м/с при частоте 5 Гц. Минимальное расстояние между точками шнура, которые одновременно проходят через положение равновесия, двигаясь при этом в одном направлении, равно ...

19) Материальная точка равномерно вращается по окружности. Зависимость ее проекции на ось ОХ. совпадающую с диаметром окружности, от времени описывается формулой x = A cos(wt + ₀ ) , где А= 1,6 м , w= 18/5 рад /с,  = /4 рад. Определите, какое число оборотов за секунду совершает материальная точка, двигаясь по окружности.

20) Математический маятник длиной 10 см совершает колебания вблизи вертикальной стены, в которую на расстоянии 6,4 см от точки подвеса вбит гвоздь. Период колебаний такого маятника равен …

21) Тело совершает гармонические синусоидальные колебания с периодом 2,4 с и амплитудой 12 см. Каково смещение тела от положения равновесия через 0,6 с после прохождения телом положения равновесия?

1) 4 см 2) 3 см 3) 2 см 4) 6 см 5) 12 см

22) Однородный цилиндр с площадью поперечного сечения 10^-2м² плавает на границе несмешивающихся жидкостей с плотностью 800 кг/м³ и 1000кг/м³ (см. рисунок). Пренебрегая сопротивлением жидкостей, определите массу цилиндра, если период его малых вертикальных колебании π/5 с.

Задачи для самостоятельного решения:

1) Сколько колебаний за 10 мин совершит математический маятник с длиной нити 4 м?

2) Точка совершает гармонические колебания с периодом 6 с. За какое время скорость точки меняется от максимального значения до половины максимального значения?

3) Математический маятник, находящийся на некоторой планете, за минуту совершает 30 колебаний. Длина маятника 25 см. Определить ускорение свободного падения на планете.

4) Один математический маятник имеет период 0,5 с, другой 0,3 с. Найти период колебаний маятника, длина кото­рого равна разности длин этих маятников.

5) В лифте, поднимающемся вверх с ускорением а = 2,96 м/с, находится математический маятник длиной 1 м. Сколько колебаний совершит маятник за время t = 15,7 с.

6) Математический маятник длиной 25 см и тело на пружине жесткостью 300 Н/м совершают синхронные гармонические колебания. Найти массу тела.

7) Длина нити математического маятника 1 м, масса маятника 200 г. Нить маятника отклоняется от вертикали на максимальный угол, косинус которого равен 0,9. Определить максимальный импульс маятника.

8) Амплитуда колебаний некоторой точки струны 1 мм, частота 1кГц. Считая колебания незатухающими, определить, пройденный точкой путь за время 1,0с.

9) Период колебаний груза на пружине 0,314 с. На сколько изменится длина пружины, если груз снять?

10) Груз массой 100г, прикрепленный к пружине, совершает одно колебание за 0,5 с. Определить коэффициент жесткости пружины.

11) Груз массой 800 г совершает колебания на пружине жесткостью 500 Н/м. Амплитуда колебаний 5 см. Определить наибольшую скорость движения груза.

12) Два груза, укрепленные на одинаковых пружинах совершают гармонические колебания. Масса первого груза в 9 раз меньше массы второго. Сколько колебаний совершит вто­рой груз за то время, пока первый сделает 24 колебания?

13) Груз, состоящий из двух брусков, подвешен к пружине и совершает гармонические колебания с периодом 0,2 с. К этой же пружине прикрепляют бруски поочередно. Период колебаний первого равен 0,12 с. Определить период колебаний второго бруска.

14) Груз, подвешенный на пружине, совершает вертикальные колебания. При массе груза m₁ период колебаний 0,6 с, при массе m₂ период стал равным 0,8 с. Каким будет период колебаний груза, если его масса будет сумме масс.

15) Груз массой m, подвешенный на невесомой пружине, совершает колебания с частотой 0,5 Гц. Какова будет частота колебаний того же груза на двух таких же пружинах, соединенных параллельно?

16) Скорость распространения волны равна 24 м/с. Найти частоту распространения волны, если ее длина равна 0,5 м.

17) Рыболов заметил, что за 1 мин волны ударили в борт лодки 54 раза, а расстояние между двумя соседними гребнями равно длине лодки 2 м. Какова скорость распространения волн на воде?

18) Материальная точка равномерно вращается по окружности. Зависимость ее проекции на ось ОХ, совпадающую с диаметром окружности, от времени описывается формулой x = A sin(wt + ₀), где А= 24/ м, w= /6 рад /с,  = /6 рад. Определите скорость проекции этой точки на ось ОХ в момент времени 1 с.

1) 2,0 м/с 2) 3,5 м/с 3) 4,0 м/с 4) 8,0 м/с 5) 8,5 м/с

19) Материальная точка равномерно движется по окружности так, что ее радиус–вектор вращается с угловой скоростью 2 рад/с. В определенный момент времени скорость проекции этой очки на ось, совпадающую с диаметром окружности, имеет максимальное значение. Эта величина уменьшится вдвое через …

1) 0,16 с 2) 0,21 с 3) 0,26 с 4) 0,32 с 5) 0,37 с

20) Тело совершает гармонические синусоидальные колебания с амплитудой 8 см и начальной фазой /4. Через 1/8 периода после начала колебаний смещение точки от положения равновесия равно …

1) 4 см 2) 0 см 3) 6 см 4) 8 см 5) 2 см

21) Ареометр, погруженный в жидкость, совершает малые вертикальные гармонические колебания с частотой 0,2 Гц (см. рисунок). Площадь сечения трубки ареометра 10 мм², его масса 50 г. Пренебрегая сопротивлением жидкости, найдите плотность жидкости.

22) Груз массой m, подвешенный на пружине, совершает гармонические колебания с периодом T и амплитудой x0. Что произойдет с максимальной потенциальной энергией пружины, периодом и частотой колебаний, если при неизменной амплитуде уменьшить массу груза?

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

ФИЗИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ		ИХ ИЗМЕНЕНИЯ
А)	период колебаний	1)	увеличится
Б)	частота колебаний	2)
В)	максимальная потенциальная энергия пружины	3)	не изменится

А	Б	В

Рекомендуемое домашнее задание:

вопросы А26 тестов 2,3,4,5,8,9,10,11,12,13.

А27 тестов 2,3,4,5,8,9,10,11,12,13.

А28 тестов 2,3,4,5,8,9,10,11,12,13.