3) Построение гистограммы относительных частот.

Гистограммой называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной , а высоты равны .

Высоты прямоугольников записываем в 7 столбец таблицы 4. Диаграмма, построенная по данным таблицы 4, показана на рисунке 21.

Если теперь середины верхних сторон прямоугольников соединить плавной линией, то эта линия будет аналогом плотности распределения случайной величины – эмпирическим законом распределения.

4) Сравнение эмпирического и теоретического законов распределения случайной величины X.

Из вида кривой эмпирического распределения следует, что случайная величина должна иметь закон распределения, близкий к нормальному. Для сравнения в той же системе координат построим кривую нормального закона распределения

,

где , а величины и были получены в предыдущем пункте. Таким образом, .

Одним из критериев, позволяющих установить справедливость нормального закона распределения случайной величины X, является правило трех сигм. В случае нормально распределенной величины вероятность отклонений от больше, чем на величину , мала, следовательно, такие отклонения встречаются крайне редко. Для наших статистических данных . Из графика и таблицы можно сделать вывод, что величина X редко отклоняется от более, чем на , следовательно, ее закон распределения близок к нормальному.

Рисунок 20 – Гистограмма, экспериментальная и теоретическая кривые

Распределения

26. Заданные осциллограммы представить приближенно в виде суперпозиции гармоник. В разложении сохранить постоянное слагаемое и первые четыре гармоники. Найти коэффициенты разложения и начальные фазы гармоник. Для определения коэффициентов и фаз измерить и использовать ординаты точек на осциллограммах для 13 равноотстоящих значений абсциссы 0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, 300, 330 и 360 градусов. Измерения выполнить с точностью до двух значащих цифр, а вычисления – с точностью до трех значащих цифр. Построить график осциллограммы и найденного разложения.

Рисунок 21 – График осциллограммы

Решение. Определим по графику ординаты для заданных значений абсциссы и запишем их в таблицу. В технике обычно углы измеряются в градусах, но в математике удобнее использовать радианы – для упрощения формул. Кроме того, большинство компьютерных программ общего назначения в тригонометрических функциях по умолчанию используют радианы в качестве меры угла. Поэтому значения x в таблице имеет смысл записать в радианах по формуле

. (4 )

Таблица 5 – Заданные значения

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x	0	0,524	1,05	1,57	2,09	2,62	3,14	3,67	4,19	4,71	5,24	5,76	6,28
y	0,11	0	–1	–2	–3	–3	–3	–2	–1	0	1,2	1,2	1,2

Поскольку измеряется в радианах, причем , формула для разложения функции в ряд Фурье имеет вид

(5)

Коэффициенты разложения определяются по формулам

, (6)

, (7)

. (8)

В нашей задаче аналитический вид функции неизвестен, но мы нашли значения функции в нескольких точках, поэтому можем вычислить интегралы приближенно, например, по формуле трапеций:

, (9)

, (10)

, (11)

где

Все параметры в формулах (9–11) заданы в таблице 5, поэтому вычислим значения и заполним первые 3 столбца таблицы 6. Например, для получим

и т.д.

Таблица 6 – Парметры ряда Фурье

k
0	–1,99
1	1,85	–1,12	2,2	2,12
2	–0,05	–0,06	0,081	–2,46
3	–0,09	–0,03	0,096	–1,88
4	–0,1	0	0,1	–1,52

Во многих технических приложениях вместо суммы функций записывают одну функцию , которая представляет собой синусоиду с таким же периодом, но сдвинутую влево относительно на . Функцию принято называть гармоникой. Ее параметры выражаются через и по формулам

, (12)

(13)

Если значение , вычисленное по формуле (13), превышает , то из него можно вычесть , так как синус – периодическая функция. С учетом формул (12, 13), формула (5) приобретает следующий вид

(11)

По формулам (12,13) заполним два последних столбца таблицы 6. Подставим найденные коэффициенты в формулу (14) и получим приближенное разложение в ряд Фурье для нашей осциллограммы

(15)

Для построения графика функции вычислим значения функции по формуле (15) для всех значений из таблицы 5.

Таблица 7 – Значения функции по данным значениям аргумента

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
x	0	0,524	1,05	1,57	2,09	2,62	3,14	3,67	4,19	4,71	5,24	5,76	6,28
	0,64	0,0001	–0,95	–2,2	–2,9	–3,1	–2,9	–2	–1	0,069	1,2	1,3	0,64

Построим в одной системе координат график исходной осциллограммы и график ее разложения по гармоникам. Для этого построим точки с координатами из таблицы 5 и соединим их плавной линией черного цвета, затем построим точки с координатами из таблицы 7 и соединим их плавной линией синего цвета. При построении точек следует перевести абсциссы обратно в градусы по формуле

Полученный график показан на рисунке 22.

Рисунок 22 – Исходная осциллограмма и ее разложение в ряд Фурье

На этом графике – исходная осциллограмма, – ее разложение в ряд Фурье. Графики близки друг к другу при всех значениях x за исключением крайних точек и . Дело в том, что – функция непрерывная и периодическая, для нее . В то же время, для нашей осциллограммы . Если ее график периодически продолжить на всю ось Оx, то точки и станут точками разрыва. В точках разрыва равно полусумме левостороннего и правостороннего пределов функции .

Тестовые задания для самопроверки

(Направление: 110300.62 – Агроинженерия

(МСХ, МПСХП, ТОРМ, электрификация)

Дисциплина: Математика)