Решение типовых примеров
1.
Привести
уравнения данных гармонических колебаний
к виду
.
Найти амплитуду А,
фазу
,
период гармоники и построить ее график.
Решение. Привести уравнения данных гармонических колебаний
к
виду
,
где
– амплитуда,
,
и
– период колебания.
В нашем случае:
,
и
,
,
откуда
принадлежит 4 четверти и
,
.
Тогда
,
.
От
графика функции
перейдем к графику функции
с помощью следующей цепочки преобразований:
то есть к нашей функции .
Построение:
Строим одну волну синусоиды
.Строим график функции
,
которая имеет период
(то есть сжимаем функцию
в три раза).У
величивая
ординаты графика
в 5 раз, получаем график функции
.Сдвигаем график функции
на 12,30
вправо вдоль оси Ох.
у
5
1
1200 132,30
0 12,30 600 1800 3600 х
у2=sin3x у1=sinx
у3=5sin3x у=5sin(x–12,30)
Рисунок 1 – Построение гармоники
2.
Даны векторы
и
.
Показать, что векторы
образуют базис трехмерного пространства,
найти разложение и координаты вектора
в этом базисе. Полученную систему
линейных уравнений решить тремя методами:
а) через определители (формулы Крамера),
б) через обратную матрицу,
в) методом Гаусса (через расширенную матрицу).
Решение.
Составим определитель из координат
векторов
и вычислим его, разложив по элементам
первой строки:
значит, векторы образуют базис трехмерного пространства и вектор можно разложить по векторам базиса
,
где
,
,
– координаты вектора
в базисе
.
Перейдем к матричной записи полученного векторного уравнения
Используя
свойства матриц и действия над ними,
получим систему линейных уравнений
относительно неизвестных
,
,
:
а) Решение полученной системы линейных уравнений через определители.
Находим главный определитель системы уравнений:
следовательно, данная система уравнений имеет единственное решение, которое находим по формулам Крамера:
где
получается путем замены i-го
столбца свободными членами.
Вычислим
определители
.
.
Находим
Ответ:
б) Решение системы через обратную матрицу.
Обозначим через А матрицу коэффициентов при неизвестных, Х – матрицу-столбец неизвестных Х1, Х2, Х3; Н – матрицу-столбец свободных членов:
С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму:
.
Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу
,
где
–
алгебраическое дополнение элемента
.
Вычислим
определитель
и алгебраические дополнения
элементов матрицы А.
следовательно,
матрица А
имеет обратную матрицу
.
Тогда
.
Решение системы уравнений
Отсюда
Ответ:
в) Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (через расширенную матрицу).
Составим расширенную матрицу данной системы линейных уравнений и с помощью элементарных преобразований матрицы приведем ее к треугольному виду (ниже главной диагонали все элементы равны нулю).
Видим,
что ранги матриц А
и В
совпадают и равны числу неизвестных,
то есть
.
Следовательно, система линейных уравнений
имеет единственное решение. Чтобы найти
это решение, перейдем от матричной
записи к ступенчатой системе уравнений.
Двигаясь
снизу вверх (обратный ход метода Гаусса),
получаем
.
Полученный результат подставляем во
второе уравнение, а потом вместе с
найденным
в первое уравнение:
Ответ:
3.
Определить тип кривой
,
найти ее параметры; определить угловой
коэффициент прямой
.
Найти точки пересечения данных линий
и сделать чертеж.
Решение.
Приведем уравнение кривой
к каноническому
виду
,
разделив на 225. Получим уравнение эллипса
.
Его большая
полуось
,
малая полуось
.
Центр совпадает с началом координат.
Уравнение
прямой
имеет вид «в отрезках»
,
что удобно для построения. Для нахождения
углового коэффициента прямой приведем
ее к виду
,
выразив у
через х:
.
Угловой
коэффициент
.
Для нахождения точек пересечения этих линий решим систему
Возведем второе уравнение в квадрат
и подставим в первое уравнение:
Нашли точки пересечения (0; 3) и (5; 0), что наглядно видно на чертеже.
у
3
–5 0 5 х
–3
Рисунок 2 – Эллипс и прямая
4.
Даны координаты вершин пирамиды АВСD:
Требуется:
1)
записать векторы
в системе орт
и найти модули этих векторов;
2) найти угол между векторами и ;
3) найти проекцию вектора на вектор ;
4) найти площадь грани АВС;
5) найти объем пирамиды АВСD;
6) составить уравнение ребра АС;
7) составить уравнение грани АВС.
Решение.
1)
Произвольный вектор
представляется в системе орт
по формуле
,
где
– координаты вектора
.
Если заданы точки
,
,
то для вектора
,
то есть
.
Воспользовавшись формулой и координатами заданных точек А, В, С, D, получим:
;
;
.
Если
вектор
,
то его модуль вычисляется по формуле:
.
Модули найденных векторов
;
;
.
2) Известна формула
,
где
– скалярное произведение векторов
и
,
которое можно вычислить следующим
образом:
.
У нас
,
то
есть
.
3)
Известно, что
,
то есть в нашем случае
.
4) Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, построенного на векторах и
,
где
– векторное произведение векторов,
которое можно вычислить по следующему
правилу:
.
В
нашем примере
,
причем
.
Таким
образом,
(кв. ед.).
5)
Объем пирамиды, построенной на трех
некомпланарных векторах
можно найти по формуле
,
где
– смешанное произведение векторов,
которое вычисляется следующим образом:
.
У
нас
,
где
,
то
есть
(куб. ед.).
6) Известно, что уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и , имеет вид:
.
Подставив координаты точек А и С, получим:
,
то есть уравнение ребра АС окончательно запишется следующим образом:
или
.
7)
Уравнение плоскости, проходящей через
три заданные точки
,
,
,
можно записать в виде
.
Подставляя в него координаты точек А, В, С, получим:
5. Функция у задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения аргумента х:
Требуется:
1) найти точки разрыва функции, если они существуют;
2) найти односторонние пределы и скачок функции в точках разрыва;
3) сделать чертеж.
Решение.
Данная функция опреелена и непрерывна
в интервалах
.
При
и
меняется аналитическое выражение
функции, и только в этих точках функция
может иметь разрыв.
Определим односторонние пределы в точке :
Односторонние пределы совпадают. Функция в этой точке непрерывна.
Определим односторонние пределы в точке :
Так как односторонние пределы функции у в точке не равны между собой, то в этой точке функция имеет разрыв первого рода.
Скачком
функции в точке разрыва называется
абсолютная величина разности между ее
правым и левым предельными значениями.
Следовательно, в точке
скачок функции
П
остроим
график функции.
у
0 х
Рисунок 3 – График искомой функции
6.
Провести
полное исследование функции
методами
дифференциального исчисления и построить
ее график.
Решение.
1) Область определения функции
.
2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 4. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:
Таким образом, точка х = 4 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая х = 4 – вертикальной асимптотой графика.
3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.
х |
|
–2 |
(–2; 4) |
4 |
(4; 10) |
10 |
|
|
+ |
+ |
– |
не сущ. |
– |
0 |
+ |
|
|
max |
|
|
|
min |
|
.
4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
Так
как
,
то график заданной функции точек перегиба
не имеет. Остается выяснить вопрос об
интервалах его выпуклости и вогнутости:
х |
|
4 |
|
|
– |
не сущ. |
+ |
|
|
|
|
5)
Исследование графика на наличие наклонных
асимптот. 
Таким
образом, прямая
– наклонная асимптота графика.
6) График заданной функции пересекает ось Оу в точке (0; –5).
По результатам исследования строим график.
у
20
4
–4 0 4 х
Рисунок 4 – Гипербола
7.
а) Решить
систему двух линейных уравнений в
области комплексных чисел по формулам
Крамера. Найденные
изобразить на комплексной плоскости;
,
записать в показательной и тригонометрической
формах; найти
,
записать в показательной и алгебраической
формах и изобразить геометрически.
Решение.
Найдем решение системы линейных уравнений
по формулам Крамера
.
Для этого вычислим главный определитель
системы
и определители
,
учитывая, что
–
комплексное число, где
.
Находим :
(т.к.
);
Таким образом, решение данной системы уравнений в алгебраической форме записи:
в векторной форме записи
Для
того, чтобы найти
в алгебраической форме, складываем
действительные и мнимые части чисел
:
.
Вектор,
соответствующий числу
,
строим как сумму векторов по правилу
параллелограмма.
Для
того, чтобы найти
в алгебраической форме, вычитаем
действительные и мнимые части чисел
:
.
Вектор,
соответствующий числу
,
записываем как сумму векторов
и
, строим его по правилу параллелограмма.
у
–3,5 z2
j
– z2 –2 0 3,5 x
z1 z
и
Рисунок
5 – Векторные
диаграммы суммы и разности векторов
Найдем
модуль
и аргумент
комплексных чисел
(
или
;
в 1 и 4 четвертях;
во 2 и 3 четвертях, знак «+» или «–»
выбираем так, чтобы аргумент был
наименьшим по модулю).
Число
принадлежит 3
четверти:
(аргумент
);
(модуль
).
Число
принадлежит 1
четверти:
;
Запишем
числа
в показательной
и тригонометрической
формах:
так как при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
так как при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
7. б) Найти скорость (м/с) и ускорение а (м/с2) материальной точки, траектория которой задана параметрическими уравнениями
в
момент времени
с.
Решение.
Вектор
есть радиус-вектор движущейся материальной
точки. В нашем случае
.
Найдем уравнение траектории (годографа)
движущейся материальной точки.
В первом уравнении обе части возведем в квадрат
Система уравнений примет вид
Исключая
,
получим уравнение
Это
есть уравнение параболы с вершиной
с осью, параллельной оси Оу,
параметром
и ветви направлены вверх. Координаты
точки
в момент времени
с будут
т.е.
.
Построим полученную траекторию.
у
14 М0 (5; 14)
4
0 2 5 х
–4 А
Рисунок 6 – Годограф материальной точки – парабола
Вектор
есть вектор скорости материальной
точки, который направлен по касательной
к годографу данной линии в данной точке.
В нашем случае
или
В
момент времени
с скорость материальной точки равна
или
а
величина скорости
м/с.
Как известно, вектор ускорения движения материальной точки равен
В
нашей задаче
и
.
Отметим этот вектор на чертеже.
м/с2.
Ответ:
В момент времени
с величина скорости точки
м/с,
а ускорение
м/с2.
7. в) Найти скорость (м/с) и ускорение а (м/с2) материальной точки, траектория которой задана параметрическими уравнениями
в момент времени с.
Решение.
Вектор
есть радиус-вектор движущейся материальной
точки. В нашем случае
.
Найдем уравнение траектории (годографа)
движущейся материальной точки.
Обе части уравнений возведем в квадрат и почленно сложим.
Получили
уравнение эллипса с центром в точке
и полуосями
.
Координаты точки
в момент времени
с будут
Вектор есть вектор скорости материальной точки, который направлен по касательной к годографу данной линии в данной точке. В нашем случае
или
у
В1
–2 0 х
–3
А2 О ' А1
–12
Рисунок 7 – Годограф материальной точки – эллипс
В момент времени с скорость материальной точки равна
,
(отметим
этот вектор на чертеже), а
величина скорости
м/с.
Как известно, вектор ускорения движения материальной точки равен
В нашей задаче
или
и
;
(отметим
этот вектор на чертеже).
м/с2.
Ответ:
В момент времени
с величина скорости точки
м/с, а ускорение
м/с2.
8.
а) Вычислить
площадь фигуры, ограниченной заданными
параболами
.
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения заданных парабол. Для этого приравняем правые части их уравнений:
.
Отсюда
.
у
1
–1 0 1 х
Рисунок 8 – Построение площади заданной фигуры
Площадь вычислим по формуле
,
где
,
– кривые, ограничивающие фигуру (
).
В нашем случае
8.
б) Найти
объем тела, образованного вращением
вокруг оси Ох
фигуры,
расположенной в первом квадранте и
ограниченной заданными параболой
,
прямой
и осью Ох.
Решение. Найдем абсциссу точки пересечения параболы и прямой в первом квадранте. Для этого решим уравнение
,
,
.
Первому
квадранту соответствует корень
.
Найдем
теперь абсциссу точки пересечения
прямой с осью Ох,
решив уравнение
,
откуда
.
Таким
образом, можно считать, что тело вращения
ограничено при
поверхностью, образованной вращением
параболы
вокруг оси Ох,
а при
– вращением прямой
.
у
8
0 2 х
Рисунок 9 – Сечение тела вращения
Объем
ищем по формуле
.
.
Для
вычисления второго интеграла используем
подстановку
.
Тогда
и
.
Отсюда
.
9. а) Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями
Решение. Длина дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями, вычисляется по формуле
.
Находим
и
для рассматриваемой кривой:
Вычислим
длину дуги при
:
ед.
Ответ:
ед.
9.
б) Вычислить
площадь фигуры, ограниченной кривыми
,
,
заданными в полярной системе координат.
Решение. Площадь фигуры, ограниченной одной или двумя кривыми, заданными в полярной системе координат, вычисляется по формулам
или
.
Сделаем
чертеж искомой площади, учитывая, что
,
поэтому
,
то есть
.
p/2
6 p/3
4 p/6
r
Рисунок 10 – Построение площади заданной фигуры
,
.
Так
как фигура симметрична относительно
прямой
,
то
=
10.
Найти частное решение дифференциального
уравнения второго порядка, допускающее
понижение порядка
,
удовлетворяющее указанным начальным
условиям
Решение.
Данное дифференциальное уравнение
второго порядка не содержит явно функцию
у.
Положим
,
где р
– некоторая функция аргумента х.
Если
,
то
,
и данное уравнение примет вид
.
Мы получили уравнение первого порядка
относительно переменных р
и х.
Решим это уравнение:
,
или
.
Определим
численное значение С1
при указанных начальных условиях. Имеем
.
Следовательно,
.
Теперь решаем уравнение первого порядка
:
Определим
численное значение С2
при указанных начальных условиях. Имеем
.
Таким
образом,
есть частное
решение, удовлетворяющее указанным
начальным условиям.
11.
Найти частное
решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами
,
удовлетворяющее указанным начальным
условиям
.
Решение.
Общее решение у
данного уравнения равно сумме общего
решения уодн
однородного уравнения и какого-либо
частного решения
данного уравнения, то есть
.
Для
нахождения уодн
составим характеристическое уравнение
,
имеющее комплексные корни
.
В этом случае общее решение однородного
уравнения ищем в виде
,
где
– комплексные корни характеристического
уравнения. Подставив
,
имеем:
.
Частное
решение
неоднородного дифференциального
уравнения ищем в виде
,
так как правая часть неоднородного
уравнения есть функция
и числа
являются корнями характеристического
уравнения. При
имеем:
.
Дважды
дифференцируя последнее равенство,
находим
:
.
Подставив в данное уравнение и , получим:
,
откуда
.
Следовательно,
и
.
Найдем
:
.
Используя начальные условия, получим систему
откуда
.
Следовательно,
есть искомое частное решение данного
дифференциального уравнения.
12. Классическим методом и методом операционного исчисления найти частное решение системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.
Решение.
Решением этой системы является пара
функций
,
,
удовлетворяющих системе, причем
.
1) Классический метод решения.
Продифференцируем
первое уравнение по переменной
:
.
Из
первого уравнения определяем
,
следовательно, из второго уравнения
имеем
.
Подставляем в уравнение, полученное после дифференцирования, приходим к уравнению
,
– линейное дифференциальное уравнение
II
порядка с
постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:
– действительные
различные корни.
В этом случае общее решение дифференциального уравнения имеет вид
,
.
Ранее определили . Тогда
.
Общее решение системы
Находим значения произвольных постоянных, используя начальные условия :
Частное
решение системы 
2) Метод операционного исчисления.
Пусть
.
По теореме о дифференцировании оригинала
получим
Следовательно, операторная (изображающая) система имеет вид:
Из
первого уравнения определяем
и подставляем во второе уравнение:
,
.
Представим дробь в виде суммы простых дробей:
Следовательно,
.
По таблице изображений находим
.
Аналогично:
,
,
.
Частное решение системы
13.
Найти область
сходимости степенного ряда
.
Решение.
Введем новое переменное
и получим ряд
,
где
и
.
Найдем радиус сходимости степенного
ряда
Таким
образом, интервал сходимости ряда
(–3; 3), то
есть
.
Выясним вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала.
При
ряд принимает вид
.
Получили числовой знакочередующийся ряд, применим к нему признак Лейбница:
1)
,
2)
,
в самом деле,
Значит, ряд сходится и – точка сходимости ряда.
При
получаем ряд
.
Сравним его с гармоническим рядом
,
который расходится. Применим предельный
признак сравнения.
.
Значит,
оба ряда ведут себя одинаково, то есть
ряд
расходится и
– точка расходимости.
Таким образом, область сходимости для ряда
.
Перейдем к переменному х:
или
.
Ответ:
Область сходимости
.
14.
а) Найти
разложение в степенной ряд по степеням
х
решения дифференциального уравнения
(записать три первых, отличных от нуля,
члена этого разложения).
Решение.
Так как по условию
,
то искомое частное решение
можно записать в виде:
Из
начальных условий уже известны
и
.
Подставив эти значения в заданное
уравнение, вычислим
:
.
Последовательно дифференцируя данное уравнение, будем иметь:
Теперь
вычислим значения производных при
:
.
Следовательно,
или
есть искомое частное решение.
14.
б) Используя
разложение подынтегральной функции в
степенной ряд, вычислить интеграл
с точностью до 0,001.
Решение.
.
Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Для этого используем ряд
,
где
.
Положим
и заменим х
на
:
Так
как отрезок интегрирования
принадлежит области сходимости
полученного ряда
,
то будем интегрировать почленно в
указанных пределах:
В полученном знакочередующемся ряде четвертый член по абсолютному значению меньше 0,001. Следовательно, требуемая точность будет обеспечена, если учитывать только первые три члена ряда.
.
15.
Дана функция двух переменных
.
Найти:
1) экстремум функции ;
2) в точке А(1; –2);
3) наибольшую скорость возрастания точке А(1; –2).
Решение. 1) Для отыскания экстремума функции предварительно найдем частные производные первого и второго порядка:
Приравняем их к нулю и решим систему уравнений:
Решением системы является точка М(–4; 1). Точка М(–4; 1) называется подозрительной на экстремум. Найдем частные производные второго порядка в точке М:
Из них составим определитель второго порядка
Так
как
,
то в точке М(–4;
1) есть экстремум. Производная
,
а, значит, это точка минимума функции.
.
2) Градиент функции найдем по формуле:
,
и
были найдены в пункте 1.
.
Градиент функции в точке А(1; –2):
.
3) Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиента:
.
16.
а) Найти
объем тела, ограниченного параболоидом
,
цилиндром
и плоскостью
,
через тройной интеграл, применяя
цилиндрическую систему координат.
Решение.
Сделаем чертеж, учитывая, что вершина
параболоида
находится в точке
В(0;
0; 4), радиус окружности в плоскости хОу
равен
,
осью цилиндра
является ось Оz,
радиус поперечного сечения равен 2, а
уравнение
описывает координатную плоскость хОу.
z
4 В
2
2
у
3
х
Рисунок 11 – Построение данного тела
Объем
полученного тела найдем через тройной
интеграл по формуле 
.
С
учетом характера области интегрирования
вычисления удобно вести в цилиндрических
координатах
.
Зависимость между декартовыми и цилиндрическими координатами точки имеет вид:
где
угол
равен углу между осью Ох
(х>0)
и
,
и
и
.
|
z М(j; r; z)
r z 0 у
j М¢ х Рисунок 12 – Декартова и цилиндрическая система координат точки М |
Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим координатам
.
Для вычисления объема тела в цилиндрической системе координат справедлива следующая формула:
или
.
В
нашем случае (см. рис. 11)
а
находим из уравнения параболоида,
учитывая цилиндрические координаты:
и,
таким образом, 
.
С учетом вышесказанного имеем:
Ответ:
ед3.
16.
б) Найти
объем тела, ограниченного сферой
и конусом
,
через тройной интеграл, применяя
сферическую систему координат.
Решение.
Сделаем чертеж, учитывая, что центр
сферы находится в начале координат
(0; 0; 0), радиус равен 3; осью вращения
конуса является ось Оz,
а угол между осью Оz
и образующей конуса равен
(так как каноническое уравнение конуса
вращения
,
где
– угол между образующей конуса и осью
вращения Оz).
z
3
–3 3 у
3
х
Рисунок 13 – Построение данного тела
С
учетом характера области интегрирования
вычисления удобно вести в цилиндрических
координатах
.
Зависимость между декартовыми и цилиндрическими координатами точки имеет вид:
где
угол
равен углу между осью Ох
(х>0)
и
,
угол
|
z q М(j; q; r)
r 0 у
j М¢ х
Рисунок 14 – Декартова и сферическая система координат точки М |
равен углу между осью Оz
(z>0)
и
,
и
.
Якобиан
перехода от декартовых координат к
цилиндрическим координатам 
.
Для вычисления объема тела в сферической системе координат справедлива следующая формула:
.
В
нашем случае (см. рис. 14)
и
Ответ:
ед3.
17.
а) С помощью
двойного интеграла вычислить координаты
центра тяжести фигуры (меньшей по
площади), ограниченной эллипсом
и прямой
(поверхностную плотность считать равной
единице).
Решение.
В случае однородной пластины, занимающей
область
плоскости хОу,
координаты центра тяжести
находят по формулам:
где
– площадь области
,
.
В
рассматриваемом случае фигура ограничена
кривыми
и
при
.
у
3
–5 0 5 х
–3
Рисунок 15 – Эллипс и прямая
Поэтому
Полученный интеграл вычислим заменой переменной.
Итак,
.
Далее
Первый из полученных интегралов вычисляется с помощью замены переменной:
Отсюда
.
Наконец,
17.
б) С помощью
двойного интеграла вычислить координаты
центра тяжести фигуры, ограниченной
линиями
(поверхностную плотность считать равной
единице).
Решение.
у
3
–9 3 х
3
Рисунок 16 – Две параболы
Поскольку
фигура симметрична относительно оси
Ох,
то
.
Вычислим
.
Таким
образом,
.
18.
Вычислить
работу, совершаемую переменной силой
по контуру, связывающему точки М(1;
1) и N(2;
3), и установить независимость от пути
интегрирования.
Решение. Для того, чтобы найти работу, совершаемую переменной силой , вычислим криволинейный интеграл
по контуру, соединяющему точки М(1; 1) и N(2; 3).
Выберем в качестве контура интегрирования наиболее простой контур, связывающий точки М и N, например, ломаную, звенья которой параллельны осям координат.
у
3 N
х = 2
у = 1
1 М
0 1 2 х
Рисунок 17
Имеем
на первом участке
,
на втором участке
.
Таким образом,
В данном случае выполнено условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
,
где
,
.
Действительно,
.
19.
Найти
циркуляцию векторного поля
вдоль линии пересечения
плоскости
с координатными плоскостями непосредственно
и по формуле Стокса (точка пробегает
полученную линию против часовой стрелки,
если смотреть от начала координат).
Решение. 1) Вычислим циркуляцию по контуру непосредственно по формуле
z
С 3 3 А
В
0 6 у
х
Рисунок 18 – Построение направленной линии L
В
нашем случае
и уравнение АВ:
,
,
откуда
и
,
причем
.
Поэтому
ВС:
,
,
и
,
и
.
СА:
.
.
Окончательно
Ц
.
2) Вычислим циркуляцию по формуле Стокса.
,
где
.
Предварительно найдем ротор вектора :
За поверхность, натянутую на контур, берем поверхность . Тогда
(
– площадь
,
– площадь
).
20.
Дано векторное
поле
и точки
,
и
.
1) Показать, что поле – потенциальное.
2)
Найти потенциал
,
если известно, что
.
3) Найти работу поля между точками и , и , и и найти циркуляцию по контуру .
Решение. 1) Одним из признаков потенциального поля является равенство нулю ротора вектора поля.
.
В
нашем примере
и
Таким
образом,
и заданное векторное поле является
потенциальным.
2)
Для потенциального поля вектор поля
,
где
– потенциал поля, то есть
.
Потенциал поля находим по формуле
.
.
Проверка:
.
Из условия находим С:
и потенциал поля равен
.
3) Работа потенциального поля между точками и равна разности значений потенциала в конечной и начальной точках.
Циркуляция потенциального поля по замкнутому контуру
.
Проверили еще один признак потенциального поля: циркуляция потенциального поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю.
Ответ:
1.
,
2. ,
3.
.
21. Найти вероятность безотказной работы участка цепи, если известно, что каждый -ый элемент работает независимо от других с вероятностью ( = 1, 2, 3, 4, 5, 6).
.
Рисунок 19 – Электрическая схема
Решение. Участок цепи будет работать безотказно, если работают блоки 1–2 и 3–4–5–6 (последовательное соединение).
Рассмотрим блок 1–2. Элементы 1 и 2 соединены параллельно, следовательно, блок 1–2 будет работать, если хотя бы один из элементов 1, 2 исправен.
– надежность
блока 1–2.
Рассмотрим блок 3–4–5–6. Блок 3–4–5–6 будет безотказно работать хотя бы в одном из случаев:
исправны элементы 3 и 4,
исправен элемент 5,
исправен элемент 6.
– вероятность
безотказной работы блока
3–4.
– надежность
блока 3–4–5–6.
Следовательно,
– искомая
надежность участка
цепи.
22. Рабочий обслуживает четыре однотипных станка. Вероятность того, что любой станок в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станке независимы, найти вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего: 1) все четыре станка; 2) ни один станок; 3) по крайней мере один станок.
Решение.
Обозначим через
события, состоящие в том, что в течение
часа потребуют внимания рабочего
соответственно первый, второй, третий,
четвертый станки. По теореме умножения
вероятностей независимых событий
вероятность того, что в течение часа
все станки потребуют внимания рабочего,
то есть произойдут события и
,
и
,
и
,
и
,
вычислим по формуле
.
Вероятность того, что в течение часа станок (любой) не потребует внимания рабочего, найдем по правилу вычисления вероятности противоположного события:
.
Следовательно,
вероятность события В,
состоящего в том, что ни один станок в
течение часа не потребует внимания
рабочего, то есть произойдут события и
,
и
,
и
,
и
,
равна
.
Событие,
состоящее в том, что в течение часа по
крайней мере один из четырех станков
потребует внимания рабочего, и событие
В
являются противоположными. Поскольку
,
то
.
23. Заданы законы распределения двух независимых случайных величин Х и У
|
Х |
–5 |
2 |
3 |
4 |
|
У |
1 |
4 |
|
Р |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
|
Р |
0,2 |
0,8 |
Найти математическое ожидание и дисперсию для случайной величины
.
Решение. Найдем математические ожидания и дисперсии случайных величин Х и У:
Напишем
законы распределения для случайных
величин
и
:
|
Х 2 |
25 |
4 |
9 |
16 |
|
У 2 |
1 |
16 |
|
Р |
0,4 |
0,3 |
0,1 |
0,2 |
|
Р |
0,2 |
0,8 |
Найдем математические ожидания для случайных величин и :
Отсюда
Пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также независимостью случайных величин Х и У, получаем
24.
Станок-автомат
изготавливает шарики. Шарик считается
годным, если отклонение Х
его диаметра от проектного размера по
абсолютной величине меньше 0,9 мм. Считая,
что случайная величина Х
распределена нормально с нулевым
математическим ожиданием и со средним
квадратическим отклонением
мм, найти, сколько процентов годных
шариков изготовляет станок-автомат.
Решение. Воспользуемся формулой для вычисления вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины Х от ее математического ожидания
,
где
– функция Лапласа (см. таблицу значений
функции Лапласа).
По
условию
,
поэтому
.
Таким образом, станок-автомат изготовляет 92,8% годных шариков.
25. Измерены диаметры для 60 деталей, обрабатываемых на некотором станке. Данные замеров приведены в таблице 3.
Таблица 3 – Замеры деталей
70,88 |
67,04 |
69,20 |
66,24 |
64,80 |
71,52 |
67,52 |
68,96 |
67,36 |
68,64 |
67,12 |
66,96 |
69,04 |
66,00 |
66,00 |
64,88 |
65,84 |
67,52 |
65,68 |
70,00 |
70,80 |
66,32 |
67,40 |
66,08 |
69,76 |
68,01 |
65,76 |
69,20 |
65,60 |
66,72 |
67,44 |
67,72 |
68,72 |
64,00 |
66,32 |
68,21 |
70,96 |
67,76 |
66,88 |
69,12 |
65,84 |
64,88 |
69,46 |
68,48 |
65,04 |
70,00 |
70,16 |
68,72 |
67,04 |
69,36 |
66,48 |
68,20 |
64,72 |
70,40 |
67,76 |
69,28 |
71,20 |
67,90 |
66,80 |
70,24 |
Выполнить статистическую обработку результатов измерений по следующему плану:
Построить статистическое распределение выборки.
Выполнить точечные оценки среднего значения и дисперсии случайной величины .
Построить гистограмму относительных частот, установив статистический (эмпирический закон распределения).
На том же чертеже построить кривую нормального распределения с параметрами и и проанализировать, хорошо ли статистические данные описываются нормальным законом распределения.