Пример выполнения задания 10

Условие. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике , который задан координатами своих вершин .

Решение.

1. Замкнутая область D – треугольник , изображенный на рисунке 3.

Рис. 3

2. Найдем стационарные точки заданной функции, принадлежащие , и вычислим значения функции в этих точках.

а) Для этого найдем частные производные первого порядка и приравняем их к нулю:

;

.

Решением полученной системы уравнений является

т.е. точка – стационарная, принадлежит треугольнику .

б) Вычислим значение функции в точке :

.

3. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на линиях, образующих границу .

а) Составим уравнения прямых, образующих . Для этого используем формулу уравнения прямой , проходящей через две заданные точки и .

б) Прямая , проходящая через точки , задается уравнением или , откуда или или .

Итак, уравнение прямой имеет вид: , где .

Подставим в исходную функцию .

Получим .

Исследуем полученную функцию на экстремум. Для этого найдем критические точки этой функции:

, откуда критическая точка, принадлежащая отрезку .

Найдем значения функции в этой точке и на концах отрезка .

; ; .

в) Прямая , проходящая через точки , задается уравнением

или , откуда или .

Итак, уравнение прямой имеет вид: , где .

Подставим в исходную функцию .

Тогда .

Исследуем полученную функцию на экстремум. Для этого найдем критические точки этой функции:

, откуда критическая точка, не принадлежащая отрезку .

Найдем значения функции на концах отрезка ; .

г) Прямая , проходящая через точки , задается уравнением или , откуда или ; .

Итак, уравнение прямой имеет вид: , где .

Подставим в исходную функцию .

Тогда ..

Исследуем функцию на экстремум.

Для этого найдем критические точки этой функции:

, откуда критическая точка, принадлежащая отрезку .

Найдем значения функции в этой точке и на концах отрезка .

;

; .

4. Из всех найденных значений функции выберем наибольшее и наименьшее.

, .

ОТВЕТ. , .

Приложение

Для самоконтроля правильности нахождения частных производных можно воспользоваться системой MathCad. Чтобы вычислить частную производную, необходимо ввести оператор производной с панели Calculus (Вычисления) и в соответствующем местозаменителе (контекстном меню) напечатать имя переменной, по которой должно быть осуществлено дифференцирование.

Пример 1. Аналитическое вычисление частных производных.

Пример 2. Символьное и численное вычисления частных производных в точке.

Пример 3. Вычисление частных производных второго порядка.