§ 5. Производная по направлению. Градиент. Линеаризация

Производной функции в точке по направлению вектора называется предел

, где . (5.1)

Если функция дифференцируема, то производная по направлению вектора находится по формуле

, (5.2)

где , , – направляющие косинусы вектора .

Градиентом функции в точке называется вектор с началом в точке , координатами которого являются значения частных производных функции в этой точке:

. (5.3)

Градиент функции и производная по направлению вектора связаны формулой (5.4),

где – орт вектора , который находится по формуле .

Линеаризацией функции в точке называется функция вида

. (5.5)

Пример 5.1. Найти градиент и производную функции по направлению вектора в точке . Линеаризовать данную функцию в точке .

Решение. Найдем частные производные заданной функции в точке :

, , .

По формуле (5.3) получим: .

Найдем орт вектора

,

и его направляющие косинусы:

, , .

Согласно формуле (5.4) или (5.2) определим производную по направлению:

.

Найдем значение функции в точке : .

Тогда линеаризация функции по формуле (5.5) принимает вид:

,

или

.

§ 6. Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка

; ;

; .

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и высших порядков, например:

; и т.д.

Частные производные второго и более высокого порядка, взятые по разным переменным, называются смешанными частными производными, например: , , и т.д.

Теорема (Шварца). Если функция и её частные производные первого и второго порядка определены и непрерывны в некоторой окрестности точки , то смешанные производные одного порядка, отличающиеся только порядком дифференцирования, равны между собой .

Пример 6.1. Найти частные производные второго порядка функции .

Решение. Последовательно найдем частные производные первого и второго порядка

; ;

;

;

.

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала первого порядка, т.е. .

Аналогично определяются дифференциалы третьего и высших порядков ; …, .

Если функция двух переменных имеет непрерывные частные производные по независимым переменным и , то дифференциалы высших порядков определяются по формулам

; (6.1)

. (6.2)

В общем случае имеет место символическая формула

. (6.3)

Для функции трех переменных символическая формула дифференциала - го порядка имеет вид:

. (6.4)

Формула дифференциала второго порядка для функции трех переменных имеет вид:

. (6.5)

Пример 6.2. Найти дифференциал второго порядка , если функция .

Решение. Найдем все частные производные первого и второго порядка заданной функции

, ,

, , .

Согласно формуле (6.1) получим

.