2. Классическое определение вероятности события

Вероятностью события называют отношение числа эле­ментарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Ρ - первая буква французского слова probability - вероятность), то есть , где т — число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А; п - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих пол­ную группу событий.

Это определение вероятности события называют классиче­ским. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероят­ностей.

Вероятность события обладает следующими свойствами:

1. Вероятность достоверного события равна единице. Обозна­чим достоверное событие буквой U. Для достоверного события т = n, поэтому P(U) =1.

2. Вероятность невозможного события равна нулю. Обозначим невозможное событие буквой V . Для невозможного события m=0, тогда P(V) = 0.

3. Вероятность случайного события выражается положитель­ным числом, меньшим единицы. Поскольку для случайного события А выполняются неравенства 0<т<п , или , то

0<Ρ(А)<1.

4. Вероятность любого события В удовлетворяет неравенствам 0≤Р(В)≤1.

Пример 1. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Решение. Событие, состоящее в том, что «извлеченный шар оказался голубым», обозначим буквой А. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благо­приятствуют появлению события А. По формуле классической вероятности события получим:

.

Пример 2. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Найти вероятность того, что число на вынутой карточке окажется кратным пяти.

Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что «число на вынутой карточке кратно пяти». В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (числа кратные пяти: 5, 10, 15, 20, 25, 30). Следовательно,

.

Пример 3. Среди 25 студентов группы, в которой 10 деву­шек, разыгрывается 5 билетов лотереи. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.

Решение. Пусть А - событие, состоящее в том, что среди обладателей билетов окажутся две девушки. Найдем числа m, n.

Число всех равновозможных случаев распределения 5 биле­тов среди 25 студентов равно числу сочетаний из 25 элементов по 5, т.е. · Число групп по трое юношей из 15, которые могут получить билеты, равно . Каждая такая тройка может сочетаться с любой парой из десяти девушек, а число таких пар равно . Следовательно, число групп по 5 студентов, образованных из групп в 25 студентов, в каждую из которых будут входить трое

юношей и две девушки, равно произведению . Это произ­ведение равно числу благоприятствующих случаев распределения пяти билетов среди студентов группы так, чтобы три билета полу­чили юноши и два билета - девушки.

В соответствии с формулой находим искомую вероятность

Пример 4. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что оказались вынуты 1 зеленый, 2 голубых и 3 красных ша­ра (событие А).

Решение. В ящике всего 30 шаров. При данном испытании число всех равновозможных элементарных исходов будет . Подсчитаем число элементарных исходов, благоприятствующих событию А. Три красных шара из 15 можно выбрать способа­ми, два голубых шара из 9 можно выбрать способами, один зеленый из 6 - способами. Следовательно (в силу принципа произведения в комбинаторике), число исходов, благоприятствующих событию А, будет . По формуле находим искомую вероятность

.