9.8. Двумерный случайный вектор, его статистическое описание

и выборочные характеристики.

Пусть (х_i,у_i), i=1,2,...,n - выборка объема и из наблюде­ний случайного двумерного вектора (X,Y). Предварительное представление о двумерной генеральной совокупности можно по­лучить, изображая элементы выборки точками на плоскости с вы­бранной декартовой прямоугольной системой координат. Это представление выборки называется диаграммой рассеивания.

Распределением двумерной выборки называется распределе­ние двумерного дискретного случайного вектора, принимающего значения (х_i,у_i), i=1,2,...,n, с вероятностями, равными 1/n. Вы­борочные числовые характеристики вычисляются как соответст­вующие числовые характеристики двумерного случайного векто­ра дискретного типа.

Пример 35. Найти выборочные средние, дисперсии и коэф­фициент корреляции для выборки, приведенной в таблицей. По­строить диаграмму рассеивания.

Решение. Вычисление указанных выборочных характери­стик удобно выполнять в следующей последовательности. Снача­ла вычисляют суммы , , , , , .Для контроля правильности вычислений используется тождество

.

Таблица 4

x	y	x	y	x	y	x	y	x	y
8,35	3,50	10,50	6,00	11,35	9,50	12,15	6,00	12,85	9,50
8,74	1,49	10,75	2,50	11,50	6,00	12,25	8,05	13,15	9,02
9,25	6,40	10,76	5,74	11,50	9,00	12,35	5,01	13,25	6,49
9,50	4,50	11,00	8,50	11,62	8,50	12,50	7,03	13,26	10,50
9,75	5,00	11,00	5,26	11,75	10,00	12,76	7,53	13,40	7,51
10,24	7,00	11,25	8,00	12,00	9,00	12,85	6,01	13,50	10,00
13,65	9,50	14,50	10,00	13,75	8,51	14,75	12,00	14,00	11,00
15,25	12,50	14,23	8,40	16,00	11,50	14,26	10,00	16,00	13,00
14,51	9,50	16,25	12,00

Объем выборки п = 42 .

Выборочные средние отсюда находятся по формулам

,

Затем вычисляются суммы квадратов отклонений от средне­го и произведений отклонений от средних: , ,

Отсюда , , .

Предварительно вычислим

, , , , .

Тогда найдем , .

Далее находим , , .

Окончательно, получаем

, , .

Диаграмма рассеивания приведена на рис. 11.

Рис. 11.

Выборочная линейная регрессия Y на X по выборке (х_i,у_i), i=1,2,...,n, определяется уравнением

.

Коэффициенты и называются выборочными коэф­фициентами регрессии. Они вычисляются по формулам: , .

Аналогично определяется выборочная линейная регрессия X на Y: коэффициенты и которой находятся по формулам

, .

Для контроля правильности расчетов используют соотно­шение .

Прямые , пересекаются в точке с координатами .

Пример 36. Вычислить выборочные коэффициенты линей­ной регрессии X на Y и Y на X по выборке примера 35. Нанести прямые регрессии на диаграмму рассеивания.

Решение. Воспользуемся результатами вычислений в при­мере 35. По формулам находим

, .

Таким образом, прямая регрессии Y на X имеет уравнение y=-5,705+1,103x.

Аналогично находим , .

Отсюда прямая регрессии X на Y имеет уравнение х = 7,637 + 0,599у.

Проверка показывает , что полученный результат совпадает со значением r, вычисленным в примере 35. Прямые регрессии нанесены на диаграмму рассеивания на рис.11.