12.2. Ошибки первого и второго рода

Следует помнить, что статистическое решение может быть ошибочным. При этом различают ошибки первого и второго рода.

Ошибкой первого рода называют ошибку, состоящую в том, что гипотеза Н₀ отклоняется, в то время как она верна. Вероят­ность ошибки первого рода равна вероятности попадания статистики критерия в критическую область при условии, что верна гипотеза Н₀, т. е. равна уровню значимости α: P[Z  V_K/ Н₀]= α.

В рассмотренном выше примере 50 вероятность ошибки первого рода равна 0,05.

Ошибка второго рода происходит в том случае, если гипо­теза Н₀ принимается, но в действительности верна альтернатив­ная гипотеза Н₁. Вероятность ошибки второго рода β можно вы­числить (при простой альтернативной гипотезе Н₁) по формуле β = P[ZV\V_K/H₁].

Пример 51. В условиях примера 50 предполагаем, что на­ряду с гипотезой Н₀: т = 10 л рассматривается альтернативная гипотеза Н₁: т = 9л. В качестве статистики критерия снова возь­мем выборочное среднее . Предположим, что критическая об­ласть задана следующим неравенством < 9,44 л . Найти вероят­ности ошибок первого и второго рода для критерия с такой кри­тической областью.

Решение. Найдем вероятность ошибки первого рода. Стати­стика критерия при условии, что верна гипотеза Н₀: т = 10, имеет нормальное распределение . Используя табли­цу приложений (П1), находим

.

Полученный результат означает, что принятый критерий классифицирует ~8% автомобилей, имеющих расход 10 л на 100 км пробега, как автомобили, имеющие меньший расход топлива.

При условии, что верна гипотеза Н₁: т = 9, статистика X имеет нормальное распределение . Вероятность ошибки второго рода в этом случае равна

.

Рис. 16.

Итак, в соответствии с принятым критерием 13,6% автомобилей, имеющих расход топлива 9 л на 100 км пробега, классифицируются как автомобили, имеющие расход 10 л. Вероятности ошибок первого и второго рода показаны в виде заштрихованных площадей под кри­выми плотностей распределения статистики критерия на рис. 16.

При заданной вероятности α ошибки первого рода вероят­ность ошибки второго рода может быть уменьшена путем увели­чения объема выборки. Если при этом вероятность ошибки второ­го рода не должна превышать заданного значения β, то мини­мальный объем выборки п можно найти из решения системы P[z<=V_K/H₀] = α, P=P[ZV\V_K/ Н₁]≤β.

Аналитическое решение такой системы возможно в про­стейших случаях.

Пример 52. Какой минимальный объем выборки п следует взять в условиях примера 50, чтобы при проверке гипотезы Н₀: т = 10 л против альтернативной гипотезы Н₁: т = 9 л ошиб­ка первого рода была равна α = 0,01, а ошибка второго рода не превышала 0,1? Какова критическая область в этом случае?

Решение. Так как в альтернативной гипотезе Н₁ предпола­гается меньшее значение параметра т, то критическая область V_K определяется неравенством < . По условию задачи имеем

,

.

Запишем систему следующим образом:

,

.

Исключая , получим, что n ≥ 53. Подставляя наименьшее значение п в первое уравнение системы, найдем границу критиче­ской области: .

Следовательно, критическая область V_K определяется нера­венством < 9,361.

Проверка статистических гипотез с использованием крите­риев значимости может быть проведена на основе доверительных интервалов. При этом одностороннему критерию значимости со­ответствует односторонний доверительный интервал, а двусто­роннему критерию значимости - двусторонний доверительный интервал. Гипотеза Н₀ принимается, если значение θ₀ накрыва­ется соответствующим доверительным интервалом; в противном случае гипотеза Н₀ отклоняется.

Если проверяется гипотеза Н₀: θ₁= θ₂, то рассматривается доверительный интервал для разности θ₁- θ₂. Гипотеза Н₀ при­нимается, если доверительный интервал для разности параметров θ₁- θ₂ накрывает нулевое значение. Исключение составляет про­верка гипотезы о равенстве дисперсий Н₀: так как дове­рительный интервал строится для отношения дисперсий, то гипо­теза Н₀ в этом случае принимается, если доверительный интервал накрывает значение, равное единице.

Пример 53. В условиях примера 50 проверить гипотезу Н₀: т = 10 л при альтернативной гипотезе Н₁: т < 10 л на уровне значимости α = 0,05, используя доверительный интервал для па­раметра т.

Решение. Найдем границу т₂ левостороннего доверитель­ного интервала (-∞,т₂) для параметра т при доверительной ве­роятности 1-α = 0,95. Используя выборочное среднее = 9,3 и начение квантили u_0,95 = 1,645 , получим

.

Так как значение т = 10 не накрывается интервалом (-∞;9,958), то гипотезу Н₀ следует отклонить, что совпадает с результатом, полученным при решении примера 50.