· Системи криволінійних координат
Розглянемо поняття криволінійних координат для випадку тривимірного точкового простору Евкліда. (Узагальнення розгляду на випадок n-вимірного простору може бути проведене в разі потреби без залучення принципово нових уявлень). З огляду на довідковий характер цього розділу, деякі твердження подамо без повного доведення.
Будемо
вважати, що в певній області
тривимірного точкового простору Евкліда
обрано прямокутну декартову систему
координат. Координатний рядок точки в
обраній прямокутній системі запишемо
у вигляді
Д18. Означення.
В області
задано криволінійна систему координат,
якщо кожній точці області поставлено
у відповідність трійку дійсних чисел
які є неперервними функціями прямокутних
координат,
(Д.1)
причому
якобіан
існує і не дорівнює нулю.
Д19. Зауваження. Поставлені до функцій (Д.1) вимоги забезпечують взаємно однозначну відповідність між криволінійними та декартовими координатами, а отже, і взаємно однозначну відповідність між криволінійними координатами та точками простору.
Д20. Зауваження. Криволінійна система координат буде декартовою (хоча і не прямокутною) тоді й лише тоді, коли всі функції (Д.1) лінійні за кожним з аргументів.
Д21. Означення.
Поверхню, на якій
називають координатною поверхнею,
відповідною до координати
Д22. Властивість. Координатні поверхні, які відповідають різним значенням однієї координати, не перетинаються в області .
&
Якщо припустити обернене, то на лінії
перетину координатних поверхонь
та
функція
набуватиме двох різних значень (
та
),
тобто не буде однозначною.%
Д23. Означення.
Лінію перетину координатних поверхонь
та
відповідних до двох різних координат,
називають координатною лінією відповідною
до третьої координати
Д24. Зауваження. Крізь будь-яку точку області можна провести три різні координатні поверхні та три різні координатні лінії.
Література
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М., 1984.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М., 1981.
Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М., 1971.
Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М., 1975.
Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М., 1985.
Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М., 1985.
Ланкастер П. Теория матриц. – М., 1978.
Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров А.И. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М., 1987.
Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М., 1984.
Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии. – М., 1970.
Навчальне видання
ПРИДАТЧЕНКО Юрій Вікторович
ВІЛЬЧИНСЬКИЙ Станіслав Йосипович
ЛЬВОВ Віктор Анатолійович
Матриці та вектори Навчальний посібник
Редактор Л.Львова
Оригінал-макет виготовлено Видавничо-поліграфічним центром "Київський університет"
Підписано до друку 31.12.09. Формат 60х841/16. Вид. № 401. Гарнітура Times. Папір офсетний.
Друк офсетний. Наклад 100. Ум. друк. арк. 9,3. Обл.-вид. арк. 11,3 Зам. № 29-0000.
Видавничо-поліграфічний центр "Київський університет"
01601, Київ, б-р Т.Шевченка, 14, кімн. 43, (3044) 239 32-22; (3044) 239 31-61; тел./факс (3044) 234 31-28.
E-mail: vydav_polygraph@univ.kiev.ua
WWW: http://vpc.univ.kiev.ua
Свідоцтво внесено до державного реєстру ДК № 1103 від 31.10.02.
1 Рене Декарт (Картезіус), видатний діяч французького відродження, жив у 1596–1650 рр. і вславився науковими працями з математики, механіки, оптики та філософії.
1 У деяких випадках, коли існує домовленість (т. зв. правило Ейнштейна), в алгебраїчному рівнянні немає підсумовування за індексом, який повторюється, що неважко помітити і без спеціального повідомлення: такий індекс присутній і в правій, і в лівій частинах рівняння. Проте для полегшення сприйняття формул будемо явно вказувати на відсутність підсумовування за індексом, що повторюється.
1 Послідовне означення поняття радіус-вектора точки в афінному просторі буде подано далі.