13.3. Законы Фика

При диффузии в изотропной среде, обусловленной только градиентом концентрации и при условии независимости коэффициента диффузии от концентрации, выражение для вектора плотности потока диффундирующего вещества (примеси) имеет следующий вид:

J = - D grad N, (13.12)

где J- вектор плотности потока диффундирующего вещества, т.е. количество вещества, проходящего за единицу времени через единичную площадь поверхности, перпендикулярной направлению перемещения вещества;D- коэффициент диффузии;N- концентрация атомов диффундирующего вещества.

Знак минус в выражении (13.12) указывает, что диффузионный перенос вещества происходит в направлении уменьшения концентрации примеси.

Когда концентрация вещества изменяется лишь в направлении оси х, поток

J(x) = - D (dN/Dx).(13.13)

Здесь dN/dx - градиент концентрации диффундирующего вещества вдоль оси х. Выражение для скорости накопления диффундирующего вещества может быть получено из (13.13) и принципа сохранения, согласно которому изменение концентрации вещества со временем в определенном объеме должно быть равно соответствующему потоку его в данный объем:

dN/dt = - dJ/dx. (13.14)

При подстановке (13.13) в (13.14) получаем для одномерного случая

. (13.15)

Когда коэффициент диффузии можно считать постоянным, выражение (13.15) может быть записано как

. (13.16)

Выражения (13.12) - (13.16) впервые были получены в 1885 г. швейцарским ученым Фиком для описания диффузионных процессов в идеальных газах и растворах. В дальнейшем была показана применимость установленных законов для описания процессов диффузии в твердых телах. Уравнения (13.12) и (13.16) носят названия первого и второго законов Фика соответственно.

На основании этих законов при заданных начальных и граничных условиях, а также при известном коэффициенте диффузии могут быть решены задачи определения: распределения примеси по координате; потока вещества через заданную поверхность, количества продиффундировавшего вещества и др.

13.4. Решение уравнения диффузии для неограниченного тела

Решение уравнения диффузии (13.16) для неограниченного тела при заданном в общем виде начальном распределении примесей

N(x,0) = f(x)(13.17)

находят методом разделения переменных. Если концентрацию N(x,t)представить как произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменнойN(x,t) = T(t)X(x),то выражение (13.16) принимает вид

(13.18)

или

. (13.19)

Так как левая часть равенства (13.19) не зависит от х, а правая - отt, то они должны быть тождественно равны некоторой постоянной отрицательной величине, которую обозначим-².

В результате получим дифференциальные уравнения:

dT/T = - ²Ddt ,

(13.20)

d²X/dx² = - ² X ,

общее решение которых имеет вид

(13.21)

где - текущая координата интегрирования.

13.5. Диффузия в полуограниченное тело из постоянного источника

Важное практическое значение имеет случай, когда на границе полубесконечного кристалла поддерживается постоянная концентрация диффундирующей примеси. Начальная концентрация во всем полуограниченном теле равна нулю. Граничные условия для этого случая

N(0,t) = N₀. (13.22)

Решение уравнения диффузии для этого случая имеет вид

, (13.23)

где символ erfcозначает дополнение (до единицы) функции ошибокerf z(происходит от английских словerrorfunction):

,(13.24)

а erf zобозначает интеграл функции ошибок Гаусса:

. (13.25)

Величину, имеющую размерность длины, называют диффузионной длиной.

Из выражения (13.23) следует, что заданное распределение примеси можно получить при различных сочетаниях значений D(т.е. температуры) и времени. Кроме того, величина температурно-временного воздействия (Dt) при постоянной концентрации определяет количество примеси, введенное в кристалл, т.е. дозу легирования (рис. 13.4).

Во многих практических случаях важно знать количество диффузанта (дозу легирования), проникшего в тело за время проведения диффузии. Эта величина может быть определена по формуле

, (13.26)

где J(0,t)– поток диффузанта в объем тела через плоскость прих=0:

. (13.27)

Подставляя (13.23) в (13.27), получим

. (13.28)

Рис.13.4. Распределение примеси при диффузии из постоянного источника в полуограниченное тело при различных значениях Dt: 1 – D t = 0; 2 – D t = 1; 3 – Dt = 4; 4 – Dt = 16; 5 – Dt = 

Интегрируя полученное выражение по времени, найдем

. (13.29)