Знакоопределенность матрицы. Критерий Сильвестра

Определение 1

Пусть , квадратная симметрическая матрица размером .

Квадратичной формой относительно матрицы называется функция вида .

Определение 2

Квадратная матрица положительна (отрицательна) определена, если

Определение 3

Квадратная матрица неотрицательна (неположительна) определена, если

Определение 4

Квадратная матрица знакопеременна, если квадратичная форма принимает на как положительные, так и отрицательные значения.

Критерий Сильвестра

Замечание 1

Будем обозначать через угловой минор порядка k матрицы А, т.е. определитель, составленный из элементов матрицы А, расположенных на пересечении k первых строк и k первых столбцов матрицы А.

Замечание 2

Будем обозначать через главный минор порядка k матрицы А, т.е. минор, расположенный на пересечении k строк и столбцов матрицы А с номерами .

Для установления знакоопределенности квадратной матрицы предлагается следующая схема:

Если знаки всех угловых миноров матрицы положительны, то она является положительно определенной ;

если некоторые из знаков заменяются нулями – нужно исследовать все главные миноры; если все они неотрицательны, то матрица неотрицательно определена

;

Если знаки угловых миноров чередуются, начиная с минуса, то матрица отрицательно определена

;

если некоторые из знаков заменяются нулями – нужно исследовать все главные миноры; если все они имеют чередующиеся знаки, то матрица является неположительно определенной

;