33

2. Задача безусловной оптимизации

2.1. Постановка и схема решения задачи

Данные: ;

Модель: ;

- управляющие переменные;

Задача безусловной оптимизации имеет вид:

(1)

Предполагается, что функция дважды непрерывно дифференцируема всюду на , т.е. в точке имеет градиент

и матрицу Гессе

.

Схема решения задачи оптимизации может выглядеть следующим образом:

1. Находятся все точки локальных минимумов (максимумов);

2. Вычисляются значения функции во всех найденных точках локальных минимумов (максимумов) и выбирается точка (точки) с наименьшим (наибольшим) значением функции. Она и составит решение задачи.

2.2. Необходимые и достаточные условия наличия локального экстремума Теорема 1 Необходимое условие наличия локального экстремума

Пусть - непрерывно дифференцируемая функция в точке . Если - точка локального минимума (максимума) функции , то

(2)

Доказательство

(3)

(4)

Представим ,

где , – единичный вектор, совпадающий по направлению с вектором , .

Тогда (4)

или

(5)

(6)

(7)

Точки , удовлетворяющие условию (2), называются стационарными точками функции или задачи (1).

Для выявления искомой точки на множестве стационарных используется условие локальной оптимальности второго рода

Теорема 2

Пусть - дважды непрерывно дифференцируемая функция в некоторой окрестности точки . Если - точка локального минимума (максимума) функции , то матрица Гессе неотрицательно (неположительно) определена, т.е.

, (8)

где

Теорема 3 Достаточное условие локальной оптимальности

Пусть - дважды непрерывно дифференцируемая функция в некоторой окрестности точки . Если удовлетворяет условию (2), а матрица Гессе положительно (отрицательно) определена, т.е.

, (9)

то - точка строгого локального минимума (максимума) функции .

Замечания:

1. Каждое из условий (2) и (8) по отдельности, а также оба вместе, являются необходимыми, в то время, как только совокупность условий (2) и (9) является достаточным условием. Условие (2) называется необходимым условием I рода, условие (8) - необходимым условием II рода.

2. Условие (8) означает выпуклость (вогнутость) функции в некоторой окрестности точки . Условие (9) означает строгую выпуклость (вогнутость) функции в некоторой окрестности точки .

3. Из теорем вытекает, что если градиент целевой функции равен нулю и ее матрица Гессе положительно определена, то имеет место локальный минимум, если отрицательно определена, - локальный максимум.

Схема отыскания локального экстремума дважды непрерывно дифференцируемой функции:

1. Составляется система уравнений .

2. Находятся стационарные точки функции.

3. Составляется матрица Гессе .

4. Для каждой стационарной точки вычисляется , устанавливается ее знакоопределенность и делается вывод относительно наличия и квалификации экстремума (минимум это или максимум).