7.3. Геометрические и механические приложения производной Краткая теория
1. Геометрический смысл производной.
Если кривая задана уравнением
или
,
то
есть угловой коэффициент касательной
(тангенс угла ее наклона с положительным
направлением оси абсцисс).
Уравнение касательной к кривой
в точке
имеет вид:
, (7.30)
а уравнение нормали:
. (7.31)
Углом между двумя кривыми
,
в точке их пересечения
называется угол между касательными к
этим кривым в точке
,
тангенс которого находится по формуле:
. (7.32)
2. Механический смысл производной.
Если точка движения по закону
,
где
-
путь,
-
время, то
представляет
скорость изменения пути в момент
.
Вторая производная пути по времени
есть скорость изменения скорости или
ускорение точки в момент
.
7.109. Составить уравнение касательной
и нормали к графику функции
в точке с абсциссой
.
Решение. Вычислим значение функции
в точке
:
.
Производная функции
.
Значение производной в точке
:
.
Согласно (7.30), уравнение касательной
имеет вид:
,
или
,
а уравнение нормали (7.31) -
,
или
.
7.110. Составить уравнение касательной
к графику функции
,
проходящей через точку
.
Решение. Определим абсциссу точки
касания из условия, что точка
принадлежит
касательной, т.е. ее координаты
удовлетворяют уравнению (7.30):
.
Подставляя в это соотношение выражение
для значения функции и ее производной
в точке
,
получим уравнение вида:
.
Решая его относительно
,
найдем, что
.
Определив значение функции и ее
производной в этой точке, уравнение
касательной запишем в виде:
,
или
.
7.111. Составить уравнение касательной
и нормали в точке (1; 4) к кривой, заданной
параметрически:
,
.
Решение. Найдем значение
,
при котором
,
,
из решения системы:
Получим, что
.
Производную определим по формуле
(7.27):
.
Значение производной при
:
.
Тогда уравнение касательной запишется
в виде:
,
или
,
а уравнение нормали примет вид:
,
или
.
7.112. Найти угол между параболами
и
в точке их пересечения.
Решение. Решив совместно систему
уравнений парабол, находим точку их
пересечения:
и
Продифференцировав уравнения парабол
,
,
найдем их угловые коэффициенты в точке
пересечения:
Согласно
(7.32), тангенс угла между параболами
будет равен:
Следовательно,
Составить уравнение касательной и нормали к кривым в указанных точках:
7.113.
7.114.
7.115.
7.116.
7.117.
7.118.
7.119.
7.120.
7.121. Какой угол образует с осью абсцисс касательная к графику функции, проведенная в указанной точке? Написать уравнение касательной:
а)
б)
7.122. Составить уравнение касательной
к кривой
параллельной
прямой, проходящей через точки (1;7) и
(-2;2).
7.123. Составить уравнения касательных
к кривой
перпендикулярных прямой
7.124. Составить уравнение касательной
к кривой
перпендикулярной
прямой, образующей с осью абсцисс угол
.
7.125. Составить уравнения касательных
к кривой
а) параллельных прямой
б) перпендикулярных прямой
.
7.126. Составить уравнение касательной
к кривой
:
а) проходящей параллельно биссектрисе второго и четвертого координатных углов;
б) отсекающей на оси абсцисс отрезок, равный –1.
7.127. Составить уравнение касательной
к графику функции
,
проходящей через точку М (6; 2).
7.128. Найти угол между кривыми:
а)
и
;
б)
и
;
в)
и
.
7.129. Тело движется прямолинейно
по закону s(t).
Определить скорость и ускорение тела
в указанный момент времени
:
а)
,
;
б)
,
.
7.130. Тело, брошенное вертикально
вверх, движется по закону:
.
Найти начальную скорость и ускорение
тела (
)
и максимальную высоту подъема (при
которой скорость
).