6.2. Раскрытие неопределенностей различных типов
Далеко не всякая подстановка предельного значения в функцию вместо независимой переменной может сразу привести к нахождению предела. Случаи, в которых подстановка предельного значения в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями; к ним относятся неопределенности видов
Устранить неопределенность удается часто с помощью алгебраических преобразований.
6.12.
Найти
Решение.
Имеем неопределенность вида [
– ]. Вынесем за
скобку х в наибольшей степени:
х4 является бесконечно большой величиной при х . По теоремам о пределах
так
как
и
при х
являются бесконечно малыми величинами,
а предел постоянной равен самой
постоянной (единице). По свойству
бесконечно больших
является бесконечно большой величиной,
т.е. искомый предел равен .
Ответ данной задачи и приведенные в решении выкладки будем использовать при решении следующих примеров как заранее известные факты. Рассмотрим несколько типов примеров, классифицируя их по виду неопределенности и предельному значению х.
1-й
тип. Рассмотрим примеры вида
с
неопределенностью вида
,
где f(x)
и (х) в общем
случае – сложные степенные или
показательные функции. В случае степенных
функций необходимо выносить за скобку
в числителе и знаменателе дроби х
с наибольшим показателем степени среди
всех слагаемых дроби; в случае
показательных функций за скобку
выносится наиболее быстро возрастающее
слагаемое среди всех слагаемых дроби.
После сокращения дроби неопределенность
устраняется.
6.13. Найти
Решение.
Вынося
за скобку и в числителе и в знаменателе
х в наибольшей степени, получим
так
как
,
,
,
– величины бесконечно малые при х
.
6.17. Найти
Решение. При
показательная функция
,
при
стремится к
.
Быстрее будет возрастать та функция,
у которой основание больше, поэтому в
нашем случае выносим за скобки
:
так как при
и при
.
Найти пределы:
6.18.
6.19.
6.20.
6.21.
6.22.
6.23.
6.24.
6.25.
6.26.
2-й тип. Рассмотрим примеры
вида
с неопределенностью вида
В этом случае необходимо разложить на
множители и числитель, и знаменатель
дроби или домножить и числитель, и
знаменатель дроби на одно и то же
выражение, приводящее к формулам
сокращенного умножения. Неопределенность
устраняется после сокращения дроби.
6.45. Найти
Решение. Имеем неопределенность
вида
Разложим числитель и знаменатель дроби
на множители: числитель – по формуле
сокращенного умножения
а знаменатель – по формуле разложения
квадратного трехчлена на множители
при
где
Получим
После сокращения дроби следует подставить
предельное значение х в сокращенную
дробь. Получим
6.46. Найти
Решение. 1-й способ. Имеем
неопределенность вида
Дополним числитель до разности квадратов
а знаменатель до разности кубов
Получим
2-й способ. Сделаем замену переменной:
тогда
а
при
т.е.
Теперь
Найти пределы:
6.47.
6.48.
6.49.
6.50.
6.51.
6.52.
6.53.
6.54.
6.55.
6.56.
6.57.
6.58.
3-й тип. Рассмотрим примеры с неопределенностью вида [∞ – ∞]. Если функция, стоящая под знаком предела, представляет собой алгебраическую сумму дробей, то неопределенность устраняется или приводится ко 2-му типу после приведения дробей к общему знаменателю. Если упомянутая функция представляет собой алгебраическую сумму иррациональных выражений, то неопределенность или устраняется, или приводится к 1-му типу путем домножения и деления функции на одно и то же (сопряженное) выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения.
6.68. Найти
Решение. Имеем неопределенность вида [∞ – ∞]. Приведем дроби к общему знаменателю:
Имеем предел 2-го типа, необходимо разложить на множители числитель дроби. Получим
6.69. Найти
Решение. Имеем неопределенность вида [∞ – ∞]. Домножим и разделим функцию, стоящую под знаком предела на сопряженное выражение, приводящее к разности квадратов:
Имеем предел 1-го типа.
При
по определению модуля; поэтому
так как при
- бесконечно малые величины.
Найти пределы:
6.70.
6.71.
6.72.
6.73.
6.74.
6.75.
6.76.
6.77.
6.78.
6.79.
6.80.
6.81.
6.82.
6.83.
6.84.
6.85.
6.86.
6.87.
