Раздел II. Введение в анализ Глава 5. Функция Краткая теория
1. Если каждому элементу (значению)
множества
поставить в соответствие определенный
элемент (значение)
множества
,
то говорят, что на множестве
задана функция
;
при этом множество
называется областью определения
функции
,
а множество
- областью значений функции
.
2. Функция
называется четной, если для любых
значений
из области определения функции
,
и нечетной, если
.
В противном случае
- функция общего вида.
3. Функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке , если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции . Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.
4. Функция
называется ограниченной на промежутке
,
если существует такое число
,
что
,
для всех
.
В противном случае функция называется
неограниченной.
5. Если функция
есть функция переменной
(определенной на множестве
с областью значений
),
а переменная
,
в свою очередь, также является функцией
(определенной на множестве
с областью значений
),
то заданная на множестве
функция
называется сложной функцией.
6. Основные элементарные функции:
а) степенная функция
;
б) показательная функция
;
в) логарифмическая функция
;
г) тригонометрические функции
;
д) обратные тригонометрические функции
.
7. Функции, построенные из основных элементарных функций при помощи конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.
8. Функция
называется периодической с периодом
,
если
для любых
.
9. Преобразование графиков:
а)
- сдвигает график
параллельно оси
на
единиц, (
- влево,
- вправо);
б)
- сдвигает график
параллельно оси
на
единиц (
- вверх,
- вниз);
в)
- растягивает в
раз
или сжимает
график
относительно оси
;
при
симметрично отображает график относительно
оси
;
г)
- растягивает в
раз
или сжимает
график
относительно оси
,
при
симметрично отображает график
относительно оси
.
10. Абсолютная величина (модуль) действительного числа :
5.1. Найти область определения функции
.
Решение. Так как выражение под корнем четной степени должно быть неотрицательно, знаменатель дроби отличен от нуля, а выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительно, то область определения функции найдем из системы неравенств:
или
откуда
Значения переменной
,
которые удовлетворяют всем неравенствам
системы одновременно, есть
.
5.2. Найти область значений функции
.
Решение. Воспользуемся определением
обратной функции, в соответствии с
которым область ее определения будет
являться областью значений исходной
функции. Найдем функцию, обратную к
функции
,
выражая
через
или
.
Так как
,
то
,
откуда
и
,
т.е. найденный полуинтервал и является
областью значения искомой функции.
5.3. Выяснить четность (нечетность) функции:
а)
;
б) 
.
Решение:
а) Найдем
Так как
,
то по определению (п.2) искомая функция
является четной;
б)
так как
и
,
то по определению (п. 2) искомая функция
является функцией общего вида.
5.4. Найти основной (наименьший) период
функции
.
Решение: По определению периодической
функции (п. 8)
для любых
и
.
Для
имеем:
,
или
,
откуда
.
т.е.
.
Полученное равенство будет выполняться
при любых
,
т.е. тождественно, если сомножитель, не
содержащий
,
будет равен нулю, т.е.
и наименьшее (не равное нулю)
.
5.5. Постоянные издержки
(не зависящие от числа х произведенной
продукции) составляют 125 тыс. руб. в
месяц, а переменные издержки
(пропорциональные
)
– 700 руб. за каждую единицу продукции.
Цена единицы продукции 1200 руб. Найти
объем продукции
,
при котором прибыль равна: а) нулю (точка
безубыточности); б) 105 тыс. руб. в месяц.
Решение:
а) Издержки производства
единиц продукции составят:
(тыс. руб.). Совокупный доход (выручка)
от реализации этой продукции
,
а прибыль
(тыс. руб.). Точка безубыточности, в
которой
,
равна
(ед.).
б) прибыль
равна 105 (тыс. руб.), т.е.
при
(ед.).
5.6. Продолжительность выполнения
(мин.) при повторных операциях связана
с числом
этих операций зависимостью
.
Вычислить, сколько минут выполняется
работа при 50 операциях, если известно,
что при
,
а при
.
Решение. Найдем параметры
и
,
учитывая, что
,
.
Имеем систему:
решая
которую найдем
.
Итак,
и
при
(мин.).
Найти области определения функций:
5.12.
.
5.13.
.
5.14.
.
5.15.
.
5.16.
.
Найти области значений функций:
5.17.
.
5.18.
.
5.19.
.
5.20.
.
5.21.
.
Выяснить четность (нечетность) функций:
5.22.
.
5.23.
.
5.24.
.
5.25.
.
5.26.
.
Найти наименьший период функций или доказать их непериодичность:
5.27.
.
5.28.
.
5.29.
.
5.30.
.
5.31.
.
5.32. Дана функция
,
найти
.
5.33. Дана функция
,найти
.
5.34. Известно, что
,
а
.
Найти
.
5.35. Известно, что
,
а
.
Найти
.
5.38. Предприятие купило автомобиль стоимостью 150 тыс. руб. Ежегодная норма амортизации составляет 9 %. Полагая зависимость стоимости автомобиля от времени линейной, найти стоимость автомобиля через 4,5 года.
5.39. Зависимость уровня потребления
некоторого вида товаров от уровня
дохода семьи
выражается формулой:
.
Найти уровень потребления товаров при
уровне дохода семьи 158 ден. ед. Известно,
что при
;
при
;
при
.
5.40. Банк выплачивает ежегодно 5% годовых (сложный процент). Определить: а) размер вклада через 3 года, если первоначальный вклад составил 10 тыс. руб.;
б) размер первоначального вклада, при котором через 4 года вклад (вместе с процентными деньгами) составит 10000 руб.
Указание. Размер вклада
через
лет определяется по формуле
,
где
- процентная ставка за год,
- первоначальный вклад.