11) Кинетическая энергия поступательного и вращательного движения твердого тела. Полная механическая энергия. Закон сохранения полной механической энергии.

кинетическая энергия тела при поступатель­ном движении равна половине произведения массы тела на квад­рат скорости центра масс. От направления движения значение Т не зависит.

кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости. От направления вращения значение Т не зависит.

Полной механической энергией системы тел называется сумма кинетической и потенциальной энергий.

Закон сохранения: полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только потенциальные силы, не изменяется при любых перемещениях тел. 

12) Момент инерции твердого тела. Свойства момента инерции. Вывод момента инерции однородного сплошного цилиндра. Теорема Штейнера-Гюйгенса.

Момент инерции — скалярная  физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости). Единица измерения СИ: кг·м².

теорема Гюйгенса-Штейнера, момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями ,

момент инерции однородного цилиндра относительно его геометрической оси. Разобьем цилиндр на слои радиуса R и толщины dR. Масса такого слоя равна: ,где (dV-объем слоя). Все точки слоя отстоят от оси ОО на одинаковое расстояние R. Поэтому вклад слоя в момент инерции равен .

Проинтегрировав это выражение по R в пределах от 0 до r (r-радиус цилиндра), получим искомый момент инерции:

(m=ρhπr²–масса цилиндра). Отметим, что полученное выражение не зависит от высоты цилиндра h. Следовательно, формула определяет и момент инерции тонкого диска относительно перпендикулярной к нему проходящей через его центр оси.

13) Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса   материальной точки относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением её радиус-вектора и импульса: где   — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчёта начала отсчёта,   — импульс частицы.

Закон: момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

14) Момент силы. Уравнение моментов сил относительно оси. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

Момент силы - векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на ее плечо.

1. Моментом силы относительно оси называется взятое с соответствующим знаком произведение проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо проекции относительно точки пересечения оси и плоскости.

2. Момент силы относительно оси равен нулю, когда сила параллельна оси или когда линия действия силы пересекает ось.

Закон: Произведение момента инерции на угловое ускорение равно результирующему моменту сил, действующих на материальную точку

15) Кинетическая энергия вращения твердого тела. Работа при вращении твердого тела.

Кинетическая энергия измеряется работой, которую тело может произвести благодаря инерции при затормаживании тела до полной остановки.

При вращательном движении роль массы m выполняет момент инерции I, а вместо линейной скорости v выступает угловая скорость ω, и формула кинетической энергии при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси приобретает вид:

T_вр=Iω²/2

В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, кинетическая энергия складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

T=(mv_c²+I_cω²)/2,

где m - масса катящегося тела; v_c - скорость центра масс тела; I_c - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; ω - угловая скорость тела.