1.4.3 Равнодействующая произвольной плоской системы сил.

Теорема: Если главный вектор произвольной плоской системы сил не равен нулю, то эта система сил приводится к равнодействующей, равной по модулю главному вектору и направленной в ту же сторону параллельно смотри рис.1.4.3.

Доказательство:

Пусть на твердое тело действует производная плоскость системы сил

{ ₁, ₂ ,... _n}. Упростим эту систему до _гл и M_гл. Представим M_гл в виде пари сил

По модулю. = = _гл ( рис.4.3) и силы и _гл параллельны и направлены в одну сторону, а силы , _гл лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны.

{ , , _гл}={ } и }{ , _гл}

, _гл по аксиоме 2 равны нулю, значит

{ , , _гл}={ }= _рав

Таким образом, систему произвольных сил мы заменили одной силой, значит, она будет равнодействующей. Силы = _рав и _гл параллельны и направлены в одну сторону, значит данная теорема доказана.

рис.1.4.3

Теорема Вариньона:

Момент равнодействующей произвольной плоской системы сил относительно любой точки равен алгебраической сумме моментов, всех сил системы относительно этой точки (смотри рис 1.4.4).

Эта теорема широко используется для решения задач.

Рис. 1.4.4

1.4.4 Частные случаи приведения произвольной плоской системы сил

Рассмотрим частные случаи произвольной плоской системы сил.

1. Главный вектор равен 0, а M_гл не равен 0. В этом случае на тело будет действовать одна пара, и тело будет вращаться. Равнодействующая равна 0.

2. F_гл не равен 0, M_гл равен 0. В этом случае равнодействующая равна F_гл, и оны приложены в одной точке.

3. F_гл равен 0, M_гл равен 0. В этом случае тело будет находиться в состоянии покоя.

1.4. 5Условия равновесия произвольной плоской системы сил:

Геометрическое.

Для равновесия произвольного твердого тела, находящегося под действием произвольных сил необходимо и достаточно, чтобы F_гл=0 и M_гл=0.

Аналитическое.

I форма. Для равновесия произвольного твердого тела, находящегося под действием произвольных сил, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на координатные оси равнялась 0, и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно одного центра приведения равнялась 0.

∑F_x=0

∑F_y=0

∑M_А=0

II форма. Для равновесия произвольного твердого тела, находящегося под действием произвольных сил, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций на одну из осей равнялась нулю, и алгебраическая сумма моментов относительно двух центров приведения равнялась нулю. При этом центры приведения не должны лежать на одном перпендикуляре к оси.

∑F_x=0

∑М_В =0

∑М_А =0

III форма. Для равновесия произвольного твердого тела, находящегося под действием произвольных сил, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов, относительно трех центров приведения равнялась нулю. Центры приведения не должны лежать на одной прямой.

∑М_В=0

∑М_y=0

∑M_А=0

Таким образом для произвольной плоской системы сил можно составить только три независимых уравнения равновесия.

Частным случаем системы произвольных сил, является система параллельных сил.