1.3.1 Момент силы относительно точки.
Рассмотрим тело, закрепленное в одной точке (смотри рис.1.3.1). К телу приложена некоторая сила . Сила будет стремиться вращать тело относительно точки C. Из точки C опустим перпендикуляр на линию действия сил. Отрезок OC обозначим h. (h – это плечо, кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы).
Рис.1 3.1
Моментом силы относительно точки C называют произведение модуля силы на плечо, взятое со знаком «+» или «–».
Mc(
)
==
F
h
Знак «+», если сила вращает тело по часовой стрелке, знак « – », если против часовой стрелки.
Свойства момента силы относительно точки.
Момент силы не меняется при переносе силы вдоль линии действия.
Момент силы равен нулю , если сила равна нулю или плечо равно нулю. Плечо равно нулю, если сила проходит через точку.
Величина момента равна удвоенной площади треугольника CBA.
1.3.2 Пара сил.
Система двух равных по модулю сил, противоположно направленных вдоль параллельных прямых называется парой сил (смотри рис.1.3.2).
Рис.1.3.2
Систему пар сил нельзя упростить. Пары сил характеризуются вращательным движением.
Момент пары равен произведению модуля одной из сил на плечо, взятое со знаком «+» или «–». М= F h
Свойства момента пары сил:
Модуль момента пары сил равен удвоенной площади треугольника АКВ
Т.к. силу можно переносить вдоль линии действия, то момент пары сил равен моменту одной из сил, относительно любой точки, лежащей на другой прямой.
Алгебраическая сумма момента сил пары, относительно любой точки плоскости есть величина постоянная и равна моменту пары.
1.3.3 Теорема об эквивалентности пар.
Две пары, лежащие в одной плоскости, имеющие одинаковое направление вращения и моменты, равные по модулю, будут эквивалентными (смотри рис 1.3.3).
Рис.1.3.3
Доказательство:
Рассмотрим две
пары,
и
.
Эти пары лежат в одной плоскости и имеют
равные моменты F×h=F1×h1.
Предположим, что силы
и
не параллельны, значит, они должны
пересекаться в некоторой точке. Найдем
эту точку пересечения. Силу
перенесем в точку
вдоль линии действия, а силу
в точку
.
Разложим эти силы по направлению
.
Таким образом, система сил {
}~{
}
(1).
Параллелограммы,
полученные при разложении равны, так
как у них равны диагонали, а соответствующие
стороны взаимно параллельны. Если
параллелограммы равны, то и силы
и
равны по модулю и силы
,
также
равны по модулю.
Если сила
3
и
3
равны по модулю и направлены противоположно,
то по аксиоме 2 выражение (1) примет вид
=
,
(
2)
Теперь докажем,
что пара {
}~{
}.
Моменты сил {
}
численно равны площади треугольника.
M { }= A B K’ B’=F× h
M { }= A B KB’=F2× h2=F2× h1
Эти треугольники равны, так как их вершины лежат на одной прямой, параллельной основанию треугольника. Значит
F2× h2=F2× h1 = F× h .
А с учетом того , что нам дано F×h=F1×h1, получим
F2× h2= F2× h1 = F1×h1
Таким образом, у
нас получилось, что сила
1
и
2
и соответственно
и
равны и направлены в одну сторону, значит
с учетом выражения (2) система сил {
}
и {
} ~ {
},
{
}~{
}.
Из данной теоремы следует:
Любую пару сил можно переносить в любое место плоскости и при этом действие пары на тело не изменится.
У пары сил, не изменяя ее действия, можно менять значение силы или плечо, сохраняя при этом значение момента.
M1=F× h= 6× 2=12
M2=4× 3=12
M1=M2
Две пары всегда можно привести к одному плечу.
Теорема.
Пары лежащие в одной плоскости можно складывать. В результате получится пара, лежащая в той же плоскости имеющая момент, равный алгебраической сумме моментов слагаемых пар (смотри рис 1.3.4).
Доказательство:
Рассмотрим две
пары ( рис. 3.4)
,
и
,
с моментами М2=F2h2
M1=F1h1
Любую пару мы
можем привести к одному плечу, сохраняя
при этом значение момента. Данные пары
заменим парами
,
и
,
с общим плечом h.
При этом F4=M2/h
, F3=
M1/h/
Сложим силы, приложенные в точке В и К и получим
+
=
+
=
Рис.1.3.4
Пара
,
представляет
собой сумму пар
,
и
,
.
Момент этой пары равен M= Fh =(F3+F4)h= F3h+F4h= М1+М2