Питання для самоконтролю знань, умінь.

1. Пояснити зміст визначеного інтеграла як границі інтегральної суми.

2. Властивості визначеного інтегралу:

   • інтеграл суми функцій;

   • винесення коефіцієнта за знак інтеграла;

   • похідна від інтеграла;

   • інтеграл, взятий на участках одного проміжку.

3. Вказати етапи розв’язування задачі на обчислення площі плоскої фігури за допомогою визначеного інтегралу.

Висновок.______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Перевірив викладач ___________ Оцінка___________ Дата ___________

Виконаємо самостійно

В - 1 В - 2

1. Обчислити визначені інтеграли:

а) а)

б) б)

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

і

3. Знайти об’єм продукції, випущеної за час Т, якщо функція Кобба-Дугласа має вигляд:

В - 3 В - 4

1. Обчислити визначені інтеграли:

а) а)

б) б)

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

і

3.Знайти об’єм продукції, випущеної за час Т, якщо функція Кобб-Дугласа має вигляд:

В - 5 В - 6

1.Обчислити визначені інтеграли:

а) а)

б) б)

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

,

3.Знайти об’єм продукції, випущеної за час Т, якщо функція Кобба-Дугласа має вигляд:

В - 7 В - 8

1.Обчислити визначені інтеграли:

а) а)

б) б)

2.Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

;

3.Знайти об’єм продукції, випущеної за час Т, якщо функція Кобб-Дугласа має вигляд:

Тема 7. Диференціальні рівняння практична робота № 16 Тема. Роз’язування лінійних диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними. Задача Коші

Мета роботи: навчитись розв’язувати лінійні диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними; знаходити їх загальні та часткові розв’язки.

Наочне забезпечення та обладнання:

1. Інструкційні картки

2. Приклади задач

3. Роздаткові матеріали: варіанти завдань

4. Обчислювальні засоби: калькулятор.

Теоретичні відомості про лінійні диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Задача Коші

Означення . Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними , якщо воно має вигляд :

X(x)Y(y)dx+X₁(x)Y₁(y)dy=0 , (1) де X(x) , X₁(x) – функції тільки відносно x , Y(y),Y₁(y) – функції тільки відносно y.

Для розв’язування рівняння (1) поділимо обидві частини рівняння на добуток Y(y)X₁(x) , вважаючи , що вони не дорівнюють нулю . Тоді після очевидних скорочень матимемо :

dx + dy=0 (2)

В рівнянні (2) біля dx стоїть функція , що залежить лише від x , а при dy стоїть функція тільки від y. В цьому випадку говорять , що змінні відокремлені . Інтегруючи обидві частини рівняння (2) , матимемо :

dx+ dy=C (3)

Під інтегралами розуміємо первісні функцій . Співвідношення (3) і представляє собою загальний інтеграл рівняння (1). В загальному випадку, коли ми ділимо рівняння (1) на добуток X₁(x)Y(y), ми ризикуємо втратити ті розв’язки рівняння , які перетворюють даний добуток в нуль .

За допомогою безпосередньої підстановки легко переконатися , що функція

x = a , (4)

де a- корінь рівняння X₁(x)=0 , тобто X₁(a)=0 є розв’язком рівняння (1).

Також y=b , де b- корінь рівняння Y(y)=0 , (5) є розв’язком рівняння (1).

Геометрично розв’язки (4),(5) , якщо вони існують , представляють прямі лінії , відповідно паралельні осі OY і осі OX .

Диференціальні рівняння описують багато процесів реального життя . Тому їх часто застосовують для розв’язання практичних , прикладних задач, зокрема задач з професійної діяльності спеціаліста сільського господарства .

Задача 1. Знайти загальний розв’язок рівняння =

Задача 2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння

Задача 3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння xy+y' =0 і його частковий розв’язок , що задовольняє початкову умову y(1)=1 .