Нелинейная обратная связь - модель Ферхюлста.
Выше был описан случай, когда система отклонялась от своего первоначального положения и стремительно удалялась от него, в рамках этой модели, сколь угодно далеко. Однако мы ожидаем – во всяком случае, модели систем строятся как раз из расчета на это – что, рано или поздно, наша система перейдет в новое состояние. Иными словами, теперь перед нами стоит задача о математическом описании перехода системы из одного состояния в другое.
Для построения такой модели зададимся вопросом: а почему вообще возможно «торможение» изменения характеристики системы? Например, это можно сделать следующим образом: как только значение характеристики системы х начнет приближаться к нужному нам новому значению х2, значение управляющего параметра k должно уменьшаться и достигать нулевого значения при х= х2.
Другими словами, для описания управления перевода системы в новое состояние, мы должны рассмотреть случай, когда имеется зависимости управляющего параметра от текущих характеристик системы. Как правило, мы получаем при этом нелинейные дифференциальные уравнения.
Например, для уравнения (6.1) его модификация выглядит так:
(6.3)
Простейший случай – это когда k(x)=1-x, и мы получаем уравнение, называемое уравнением Ферхюлста или логистическим уравнением (к такому виду можно привести при помощи преобразования координат любую линейную зависимости управляющего параметра от характеристики системы)
(6.4)
Нетрудно видеть, что это уравнение описывает переход системы из «неустойчивого» состояния х=0 в устойчивое состояние х=1 – рассматриваются только положительные значения х.
В самом общем случае, отклонения от равновесного – то есть от устойчивого состояния – описываются чаще всего в рамках линейного подхода. Если даже и рассматриваются нелинейные добавки, то они полагаются, в определенном смысле, «малыми» по сравнению с линейными членами. Поэтому можно сделать вывод: для управления посредством отрицательной обратной связи достаточно, как правило, линейного описания. Поскольку линейные методы в математике хорошо развиты, поэтому и неудивительно, что основные успехи в кибернетике (особенно – в кибернетике технической) достигнуты именно в области управления системами с целью сохранения их текущего состояния. Вместе с тем в области кибернетики экономической огромное множество задач носит совершенно противоположный характер: необходимо управлять процессом перевода исследуемой системы в то состояние, которое нам нужно. Следовательно, основным объектом изучения в экономической кибернетике являются нелинейные математические модели. Математический аппарат для их исследования весьма сложен, по этой причине и результатов достигнуто не так много. Впрочем, в рамках технической кибернетики для нелинейных задач результатов также достигнуто весьма мало.
Решение уравнения Ферхюлста (6.4) можно записать в виде
(6.5)
Здесь через х0 обозначено значение характеристики системы в начальный момент времени, при t=0.
Соответствующие решения – называемые интегральными кривыми этого уравнения – изображены на Рис.6.1
x
1
t
Возникает вопрос: а можем ли мы говорить в этом случае о наличии обратной связи вообще? Может быть, было бы более корректно говорить о модели системы? Многое зависит от того, какую задачу мы решаем, то есть от цели нашего исследования. Как правило, вопрос о построении модели системы – это не более чем этап в подготовке и выборе системы управления данным социальным или экономическим объектом. Эта мысль станет боле понятной в том случае, когда уравнение Ферхюлста запишется в размерной форме, - то есть так, как оно обычно и получается при моделировании: dx/dt=ax-bx2=ax(1-bx/a). В такой форме записи явно введены управляющие параметры a и b, посредством изменения которых мы можем управлять как конечным состоянием системы, так и процессом его достижения.