Уравнение Колмогорова (Фоккера-Планка) и его статистическая интерпретация.

Прежде чем ответить на заданный в конце предыдущего подраздела вопрос, следует получить ответ на вопрос другой: каким же образом может быть описано состояние нашей системы в произвольный момент времени?

Очевидно, что, даже если мы и имели одно состояние, уже через сравнительно непродолжительное время оно «размывается» в некое облако состояний, причем каждое состояние будет характеризоваться некоей вероятностью своего появления. Таким образом, текущее состояние исследуемой системы может быть описано только в рамках плотности вероятности P(t,x) для того, чтобы обнаружить систему в момент времени t в некоем состоянии х (мы перешли к тому, чтобы обозначать состояние маленькими буквами).

онечно, сказанное в этой главе справедливо только для а) марковского процесса, б) непрерывности пространства состояний системы, и для в) приближения «белого шума» (когда значение амплитуды шума «не имеет памяти»). Очень многие математические детали в процессе изложения в этом разделе будут упущены – поэтому настоятельно рекомендуется при проведении самостоятельного моделирования обратиться к соответствующей литературе. Впрочем, это должно стать правилом для специалиста в области экономической кибернетики: когда при переходе к математическому моделированию возникает необходимость в применении нового для себя математического аппарата – всегда необходимо тщательно ознакомиться с ним, то есть, с теми предположениями, которые заложены в его основу. Это позволит избежать многих ошибок.

Итак, нам, зная вид уравнения (4.14) для эволюции состояния системы, необходимо найти плотность эволюцию со временем плотности вероятности для системы иметь состояние х в момент времени t. В теории стохастических дифференциальных уравнений показано, что искомая плотность вероятности P(x,t) может быть найдена из такого дифференциального уравнения в частных производных

(4.16)

Мы не будем выписывать решение этого уравнения «в общем случае» – отметим, что это, как правило, представляет собой весьма и весьма непростую задачу даже для математика-профессионала. Остановимся только на одном весьма важном для моделирования систем свойстве этого уравнения.

Уравнение (4.16) называется прямым уравнением Колмогорова, или чаще – особенно в англоязычной литературе – уравнением Фоккера-Планка. Отметим, что, в общем случае, могут быть разные интерпретации уравнения (4.14) – соответственно получатся и разные уравнения Фоккера-Планка. За деталями рекомендуем обратиться к специальной литературе.

Для широкого класса уравнений вида (4.14) уравнение (4.16) допускает стационарное решение. Это означает, что для произвольного вида начальной плотности вероятности с течением времени устанавливается _стационарная плотность вероятности, или, иными словами, имеет место асимптотический закон P(x,t)P_s(x) при t. Пользуясь формулами (4.14) или (4.16) можно даже записать вид такой стационарной плотности вероятности. Она задается формулой

(4.17)

Здесь N – нормировочный множитель, который находится по формуле

(4.18)

Если вычисленное значение N конечно, то тогда стационарная плотность вероятности существует и для ее вычисления имеет место формула (4.17). Таким образом, получаем простой алгоритм действий: если имеется задача, задаваемая уравнением вида (4.14), то мы вычисляем для нее интеграл (4.18). Если он конечен – то задача допускает существование стационарной плотности вероятности, выражение для которой может быть вычислено по формуле (4.17). (Отметим, что, в общем случае, могут встречаться случаи, когда интеграл, стоящий под знаком экспоненты в (4.17), является несобственным, - тогда задача требует специального исследования.)

В настоящей главе много математики. Однако она дается на технологическом уровне – то есть как совокупность процедур, приводящих в результате к получению решения. Специалист-кибернетик чрезвычайно часто в своей практике сталкивается с ситуацией, когда для построения математической модели ему приходится обращаться к тем разделам математики, которые являются совершенно новыми для него. И тогда он раскрывает математические книги, и начинает разбираться в нужном для него математическом аппарате. При этом ему нет необходимости знакомиться с ним весьма подробно: вполне достаточно, когда он, во-первых, поймет положения, положенные в основание той или иной математической теории или концепции, во-вторых, убедится что эти положения не противоречат положениям его модели (если такое противоречие найдется – придется отказаться либо от математики, либо от модели!), и, в третьих, когда он научится использовать этот математический аппарат – то есть когда он научится решать задачи с его использованием. А для решения задач – вот для этого, чаще всего, и нужно просто лишь знать алгоритм применения тех или иных формул или понятий. Именно на этом уровне и был написан текст этой главы.