Процессы "без памяти" - марковские процессы.
Рассмотрим систему. Пусть она может быть в некотором количестве разных состояний. Пусть вследствие каких-то причин – то ли внутреннего, то ли внешнего происхождения – система будет переходить из одного состояния в другое.
Такие переходы могут быть двух родов. Переходы первого рода – когда система из состояния i переходит в состояние k: ik, и притом такой переход осуществляется всегда. Таким образом, процессы в системе – для этого класса случаев – могут быть заданы как цепочка сменяющих друг друга состояний.
Но может быть и другой случай: система осуществляет переход ik в вероятностном смысле. Другими словами, конечное состояние системы уже не фиксировано (как было ранее!), и для следующего состояния системы открыты, в общем случае, все состояния (включая и вероятность – возможность – остаться в прежнем).
Для практических приложений весьма важное значение имеет случай, когда вероятности перехода системы в иное состояние зависят только от текущего ее состояния, - то есть от того состояния, в котором она находится в настоящий момент, но не от того, в каких состояниях она находилась ранее.
Именно такие случаи имеют место во многих экономических ситуациях. Нам, например, совершенно безразлично, какие достижения имела фирма ранее: нас, как инвесторов, интересует ее прогноз на будущее – а он определяется только ее настоящим положением на рынке.
Таким образом, случайные процессы могут служить достаточно мощным аппаратом для моделирования динамики, смены состояний и перспектив развития в социальных и экономических системах. Существуют разные способы рассмотрения такой случайности. Например, случайность может быть «введена» в на уровне модели исследуемой системы посредством того, что переходы между состояниями системы осуществляются в случайные моменты времени. Или же – сами переходы являются случайными, - например, существует вероятность перехода в несколько разных состояний. В общем же случае – может быть все: и случайные моменты времени, и случайные переходы между состояниями, да и сами вероятности таких переходов могут быть случайными – например, когда они происходят под воздействием случайных изменений во внешней по отношению к исследуемой системе среде. Заметим, что в последнем случае мы приходим к модели описания взаимодействия изучаемой системы со внешней средой!
Конечно, далеко не все интересные – с точки зрения специалиста в области экономической кибернетики – случаи имеют хорошо развитый математический аппарат. Однако выделяется класс случайных процессов, для которых получены весьма мощные математические результаты, что позволяет успешно применять их во многих областях (см., например, следующую главу).
Случайный процесс является марковским, когда любая дополнительная информация, кроме знания ее текущего состояния Xt, является несущественной для осуществления прогноза дальнейшей смены состояний системы.
Именно требование будущее зависит только от настоящего и приводит к тому, что часто марковские процессы называют «процессами без памяти».
Существует достаточно большое количество вариантов математического аппарата для марковских процессов. Ниже остановимся на том их варианте, который используется при моделировании социальных и экономических систем с помощью стохастических дифференциальных уравнений. Идея этого подхода к моделированию состоит в том, что взаимодействие системы с внешним окружением полагается изменяющимся случайным образом (более подробно – см. следующую главу).
В этом случае приращение состояния системы Xt задается формулой
(4.14)
Здесь полагается, что взаимодействие между исследуемой системой и внешней средой описывается при помощи случайного процесса
(4.15)
где задается неким усредненным состоянием окружающей среды, а изменяющаяся случайная добавка – «шум» – имеет нулевое среднее значение и дисперсию, равную 2.
Как видим, в (4.14) первый член является, по сути, дифференциальным уравнением, описывающим эволюцию системы. Но второй член – он описывает случайные добавки в это дифференциальное уравнение, что «портит» это уравнение самым неприятным для нас образом.
Каким же образом можно описать эволюцию такой системы во времени?