Викладання елементів нескінченних множин через парадокси нескінченного:

Однією з найбільш важливих ознак, які відрізняють одну множину від іншої є кількість елементів множин.

Означення 1: Множина називається скінченною, якщо кількість її елементів визначається деяким натуральним числом.

Скінченні множини можна поділити на класи залежно від кількості їх елементів. Вважатимемо, що множини з однаковою кількістю елементів належать до одного класу. Кількість елементів кожної множини Х певного класу називатимемо потужністю (кардинальним числом ) цієї множини. Потужності двох скінченних множин Х і Y порівняти двома способами:

або перелічити елементи множин,

або функціонального відобразити одну з двох множин на чи в другу (певну множину студентів, наприклад, відобразити (розсадити) в або на множину стільців в аудиторії). Якщо кожен елемент відображено на своє місце і вільних місць немає (відображення Х на Y), то потужності множин Х і Y однакові: = . Якщо ж вільні місця залишаться (відображення Х в Y, то < ).

Означення 2: множина називається нескінченною, якщо після вилучення з неї будь-якої скінченної підмножини вона перетвориться в пусту множину.

З описаних двох способів порівняння потужностей скінченних множин другий має ту перевагу , що він застосовний і до нескінченних множин. Кажуть, що множина Х (скінченна або нескінченна) рівнопотужна множині Y, якщо існує бієктивне (взаємно однозначне) відображення Х на Y. Відношення рівно потужності є, очевидно, відношенням еквівалентності (пишуть Х  Y, якщо ). Це відношення розбиває сукупність всіх множин на класи еквівалентних між собою множин. Множини одного класу еквівалентності мають однакові потужності (кардинальні числа), а різних – різне. Записи Х  Y і = еквівалентні.

Математично більш точно: потужність (кардинал або кардинальне число) множини Х – це клас еквівалентності, до якого належить множина Х.

Означення 3: якщо множина Х еквівалентна деякій підмножині множини Y, то не перевищує : . Якщо , то очевидно, що .

Приклад 1: відображення є бієкцією інтервалу (-1; 1) на множину R дійсних чисел. Значить ((-1;1)  R)

Приклад 2: відображення є бієкцією інтервалу (0, 1) на інтервал (-1, 1). Тому (0, 1)  (-1, 1).

Із відношень [0, 1]  (0, 1)  (-1, 1)  ( ) випливає рівно потужність відрізка [0, 1] і множини R дійсних чисел.

Можливість для множини бути рівнопотужною до своєї частини є характерною ознакою нескінченних множин, яку німецький математик Р.Дедекінд (1831 – 1916 рр.) запропонував навіть вважати означенням нескінченної множини. Подібно до того, як відношення нерівності впорядковує дійсні числа, введене відношення «не більше» ( ) впорядковує кардинальні числа (потужностей) множин. А саме, справедливі наступні властивості побудованого відношення:

1.

2. Теорема Шрьодера – Бернштейна:

3. Теорема (про потужність проміжної множини): якщо (АС), то АВ (і ВС). Довільні множини А і В можуть знаходитись лише у наступних відношеннях:

• (А  В₁ В) (В  А₁ А). Тоді

• (А  В₁ В) і підмножини А₁ множини А, такої, що А₁  В не існує. Тоді (за означенням), що означає ( ) ( )

• (В  А₁ А) і підмножини В₁ множини В, такої, що В₁  А не існує. Тоді (за означенням)

• А не еквівалентна ніякій підмножині В₁, а В не еквівалентна ніякій підмножині А₁.

З використанням аксіоми вільного вибору показується, що четвертий випадок не додає нічого такого, що відрізняється від одного із відношень: , , , тобто доводиться.

4. Теорема Кантора: . Нарешті, переконаємось в справедливості наступної теореми: .

Доведення:

(АВ₁ )

(ВС₁ )

Тобто: АВ₁ ВС₁ С і . Позначимо С₂ підмножину множини С, еквівалентну А. Тоді . Якщо АС, то було б С₂С, звідки АС₁С, що суперечить умові . Значить А і С не рівнопотужні, і .

Означення 4: Булєаном множини А називається множина всіх підмножин множини А.

5. Теорема Кантора (про потужність булєана множини):

Наслідок: з теореми Кантора випливає, зокрема, що, якщо нескінченні множини існують, то нескінченності бувають різні.

Крім того, не існує множини найбільшої потужності, тому що булєан всякої множини має потужність, більшу потужності цієї множини.