8. Парадокс дня народження:

Парадокс:

Скільки осіб має бути в приміщенні, щоб з ймовірністю 0,99 серед них виявилось принаймні 2 особи з одним днем народження (високосні роки не враховуються)?

Розв’язання парадокса:

Дні народження n осіб утворюють кортеж довжиною n і складу 365. Загальна кількість таких рівноможливих кортежів дорівнює . Події — «у приміщенні немає жодної пари «близнюків»» сприяють ті з цих кортежів, які не мають жодної пари однакових координат. Їх число дорівнює:

— всього n множників. Тоді:

;

(по n множників у чисельнику і знаменнику).

Безпосереднім підбором значень n можна підрахувати, що при n = 55:

P(B) ≈ 0,99.

Цей результат викликає подив хоча б тому, що для того, щоб P(B) = 1, в приміщенні має бути не менше від 366 осіб.

1. 9. Парадокс страхування:

Клієнт, що володіє власністю V, хоче застрахувати частину bV (0<b<1) своєї власності від можливої несприятливої події, що відбувається щорічно з імовірністю р. Щорічний страховий внесок становить cV (0<c<1). Страхування вигідно страхової компанії лише тоді, коли очікуваний прибуток позитивний, тобто коли с більше pb. Чому все-таки клієнти страхують майно, якщо вони знають, що страхування вигідно для компанії, а не для них? Припустимо, що клієнт застрахував майно й платив гроші протягом n років, але страхової компанії жодного разу не довелося виплачувати страховку. Тоді початкова власність клієнта (V) зменшиться до величини V (1 – c)ⁿ. А що було б, якщо клієнт не застрахувався? Нехай Х_к позначає випадкову величину, що дорівнює 1, якщо клієнт зазнав збитків в k-м році, і Х_к = 0 у противному випадку. Тоді величина власності в (k + 1)-м році дорівнює V_k+1 = V_k(1 – bX_k+1), отже, через n років, маємо

Оскільки очікуване значення величини ln(1 – bX_k) дорівнює pln(1 – b), з великою ймовірністю одержуємо

V_n V exp (np ln(1 - b)) = V (1 – b)^np

Таким чином, страхування вигідно для клієнта, коли V(1 – b)^np менше, ніж V(1 – c)ⁿ, тобто (використовуючи розкладання в степеневий ряд), коли с менше, ніж

Це означає, що страхування вигідно, як для клієнта, так і для компанії, якщо с більше pb, але менше, ніж зазначена вище сума. Легко бачити, що, чим менше b (тобто чим менша частина власності страхується), тим менше волі у виборі величини с, тобто можливість компромісу зменшується. (У деякому змісті участь у лотереї також являє собою вид страхування. Припустимо, що хтось завжди ставив на ті самі числа, а через деякий час перестав брати участь у лотереї й цього разу "його" числа виграли. Тоді цей хтось можливо помре від удару. З такого погляду ціна лотерейного квитка представляється недорогий. Зовсім інша ситуація у футбольних пулах, тому що в них рідко хто завжди ставить на ту саму комбінацію й тому неясно, що губить така людина, не беручи участь у грі.).

1.10. Парадокс процесів з незалежними збільшеннями:

Процеси з незалежними збільшеннями і їхні дискретні варіанти, часткові суми незалежних випадкових величин, є класичними об'єктами дослідження в теорії ймовірностей. Нехай Х₁, Х₂, ... - незалежні випадкові величини з нульовим математичним очікуванням. Тоді суми S_n = Х₁ + Х₂ + ... + Х_n, n = 1, 2, ... коливаються біля нуля, тобто якщо величини Xі однаково розподілені, тo

Однак ця властивість коливань може не виконуватися, якщо випадкові величини X_і розподілені неоднаково. Наприклад, покладемо , де P (Y_i = i^-1) = 1 – i^-2 і P (Y_i = -i + i^-1) = i^-2 . Якщо випадкові величини Y_і незалежні, то величини X_і також незалежні й мають нульове математичне очікування й одиничну дисперсію. По лемі Бореля – Кантелі, якщо А₁, А₂, А₃, ...- довільні події й сума їхніх ймовірностей сходиться, то з імовірністю 1 відбувається тільки кінцеве число подій A_k. Отже, подія Y_i = -i + i^-1 також відбувається лише кінцеве число разів (тому що ), тому для досить більших n з ймовірністю 1 маємо Y_і = i^-1, тобто Таким чином,

РОЗДІЛ ІІ. Парадокси наївної теорії множин – рушійна сила аксіоматичної теорії множин

З кінця минулого – початку нашого століття універсальною мовою математики стала мова теорії множин. Це проявилось в одному з визначень математики як науки, яка вивчає різноманітні структури. «Під множиною ми розуміємо об’єднання в єдине ціле визначених, різних об’єктів нашої інтуїції чи нашого мислення» - так описав поняття «множини» батько теорії множин визначний німецький математик Георг Кантор (1845 – 1918 рр.) [14]

Згідно з канторовою теорією множин множина може складатися з будь-яких об’єктів, що відрізняються. Об’єкти, з яких складається множина, називаються елементами множини. Множини частіше всього позначають великими літерами латинського алфавіту, а елементи множин малими літерами.

Для скороченого запису різних висловлювань у курсу математичного аналізу використовують ряд спеціальних символів. Наприклад, висловлювання х є елементом множини Х або х належить до Х позначають символом

х є Х або Х э х

заперечення цього висловлювання позначають

х Х або Х х

Якщо х – елемент, а P – деяка властивість, то Р(х) – позначення того, що х має властивість Р. Множину всіх елементів, що мають властивість Р позначають . Крім того, у запису висловлювань використовують і символи математичної логіки що означають відповідно «не», «і», «або», «випливає», «рівносильно».

Дві множини рівні, коли вони складаються з однакових елементів. Якщо , то .

Якщо будь-який елемент множини А належить до множини В, то кажуть, що А є підмножиною В, або В включає в себе множину А. (див. рис. 1)

М

Рис. 1

Записують це так: . Таким чином, використовуючи символ « : = » (дорівнює згідно з означенням) можна записати . Тепер рівність множин С і D можна записати ще й так .

Якщо Р – деяка властивість, то множина елементів множини М, що мають властивість Р, є підмножиною М . Якщо жоден з елементів множини М не має властивості Q, то кажуть, що підмножина є пустою і записують це так: .

1. Об’єднанням множин А і В, де називають множину тих елементів М, кожен з яких є елементом або підмножини А або підмножини В. (див. рис. 2)

М

Рис. 2

2. Перерізом множин А, В називають множину тих і тільки тих елементів М, які є спільними для множини А і В. (див. рис. 3)

М

Рис. 3

3. Різницею між множиною А та множиною В називається множина тільки тих елементів множини А, які не є елементами множини В. (див. рис. 4)

М

Рис. 4

4. Р

   М

   ізницею між множиною М та її підмножиною А називають доповненням А в М ( ). (див. рис. 5)

Рис. 5

Співвідношення (1)

(2)

називаються правилами де Моргана.